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제타 함수 관련 포스팅을 준비하면서, 오랜만에 예전에 열정을 가지고 공부했었던 리만가설 관련 노트들과 책들을 훑어 보았다. 예전에 비해서 그래도 좀 친숙해지기는 한 것인지, 옛날에는 이런 저런 계산들을 직접 건들이지는 않고 책에 있는 것들을 그져 받아들이기만 했는데 이제는 그 정의와 계산들이 어디서 왔는지, 어떻게 유도되었는지를 알아 먼가 좀 더 이해하는 것

자 이제 감마함수를 이용한 Analytic continuation 에 대해서 알아보자. s=1 이외의 모든 복소 평면에 정의된 제타함수를 구하는 것이 나의 목표이다. 리만이 했던 그 방식을 그대로 따라가 보자 자 저 식을 유도하기 위해 일단 필요한 배경지식이 있다. 바로 감마함수인데 간단히 복습 과 제타함수와의 연관성을 살펴보자. 감마함수와 그 성질 일단 감마함수는

Analytic continuation of zeta function 자 먼저 Re(s)> 0 인 경우의 analytic continuation 에 대해서 알아보자. 오늘 할 일은 일단 s=1 에서 zeta 함수가 simple pole 을 가진다는 것과 그리고 s=1 주위로 gamma 함수를 Laurent expansion (일반 실함수, 다변수 함수의

제타함수의 복소수화를 다루어 보려고 했는데 일단 복소수로 늘리기 전에, 디리클렛 에타함수를 이용한 정의에 대해서 살펴보고, 그것의 유도과정 중에 쓰이는 Binomial transformation 에 대해 다루어 보자. Dirichlet eta 함수를 이용한 제타함수의 정의 저 디리클렛 에타 함수는 Re(s)>0 인 구간에서 수렴하기 때문에, 사실 이 함수는

가장 일반적인 정의 사실 지수 s 를 복소수화 하지 않은 것이 가장 일반적인 정의 일것이다. s 가 자연수인 경우, p-test 를 통해 (p>1 이면 수렴) 무한급수가 수렴한다는 사실을 알 수 있다. 심지어 이러한 정수 s 가 even 인 경우, 여러가지 방법으로 수렴 값을 구할 수 있다. [ 관련 포스팅 -[수학, 계산] 제타함수 계산법 -[[수학,

퀴즈 325 3 쇼핑몰 스팀시티에 100명의 방문객이 찾아왔다. 그들은 지역 명물인 A,B,C 쇼핑몰에서 기념품을 샀다. 누구든지 반드시 한 곳은 갔고, 제일 많이 간 친구는 2곳을 갔다고 한다. 그러면 적어도 몇 명이 완전히 같은 장소를 방문했는가 이 문제는 쉽게 일반화가 가능하다. 풀이 바로 일반화를 해보자. n명의 방문객이 있고, A,B,C 3 곳의 쇼핑몰을

어제 아파트의 한 중학생으로부터 R(실수)과 Q(유리수) 의 차이점에 대해 질문을 받았다. [지식의 저주!!! 관련 글] [ 그 친구 왈 : "저희 엄마가 그러는데 아저씨가 수학 잘한다면서요? ㅋㅋㅋ 혹시 실수와 유리수의 차이점에 대해서 설명해 주실 수 있어요?"] 중학교 학생에게 어떻게 답을 해 주어야 그 친구를 만족 시킬 수 있을까? 먼저

퀴즈 315 조형물 공장 어느 한 조형물 공장에서는 철판 하나를 8조각으로 나눈뒤 7 조각만 가지고 하나의 조형물을 완성한다. 그리고 남은 조각 1개를 다시 7개 모아 새로운 조형물을 만든다. 철판 100개가 있을 때 조형물을 몇개 만들 수 있을까? 여기서 철판 x 개가 있을 때 조형물의 갯수를 식으로 세울 수 있다. 이번엔 거꾸로 해보자. 조형물 100개를

퀴즈 313 친구와 적 어떤 왕국에 n 명의 기사가 살고 있다. 각 기사들은 서로 친구이거나 적이다. 그리고 각 기사들은 정확히 3명의 적을 가지고 있다고 한다. 만약 이 왕국이 "친구의 적은 나의 적이다" 라는 법에 의해 지배된다면 가능한 n 의 값은 몇명인가 풀이 여러 방법이 있겠지만[그래프 이론을 이용해서 멋있는 용어를 써서 보일 수도

퀴즈 308 원탁의 기사 12명의 기사가 원탁에 앉아 있다. 기사 회의에서 다음 전쟁에 나갈 선봉 4명을 뽑으려고 한다. 인접하게 앉아 있는 사람은 함께 선출 될 수 없다고 할 때, 선봉을 뽑는 방법의 수는? 이 문제는 여러가지 풀이법이 존재한다. 여사건을 이용해서 푸는 방법과 직접 세서 푸는 방법이 있다. 풀이 1 여사건 전체 경우의 수는 12 C 4 인접하여

무승부가 아닌, 이번엔 패자 1명(혹은 승자 1명)이 결정되기까지 필요한 가위바위보 수는? 단 가위바위보는 패자[승자] 끼리 가위바위보를 한다. 이는 예전에 출제한 quiz 64 문제를 일반화 해 본 것이다. 퀴즈 문제가 패자였으니 여기서도 패자로 가보자. 이 문제에서는 두 사람이 가위바위보를 할 때, 세 사람이 가위바위보를 할 때 패자 1명이 결정되기 까지

퀴즈 302 모임의 참석자 12 k [12의 배수] 명으로 이루어진 어떤 모임에 각 사람은 3k+6 명의 다른 사람과 인사를 나누었다. 임의의 두 사람에 대하여 이들 모두와 인사를 나눈 사람들의 수는 일정하다. 이 때 이 모임에는 모두 몇 명의 사람들이 있는가? 풀이 이 문제를 푸는 방법은 "더블 카운팅" 이라는 방법인데, 이는 하나의 경우의

예전에 가위바위보 글을 쓴 적이 있다. [수학] 가위바위보와 확률(?) 오늘은 그 2탄이라고나 해야 할까, 가와바위보와 무승부라는 주제를 가지고 왔다. 사람이 늘어났을 경우 가위바위보의 무승부 확률은 어떻게 될까? [이 포스팅은, [quiz 310] 가위 바위 보 무승부의 답과 그 일반화를 포함하고 있다.] 1 . 두 사람 =1/3 이 경우는 손으로도 쉽게

요즘 일본인 수학자들이 쓴 수학 대중서를 즐겨 읽고 있다. 요시자와 미쓰오의 수학적 사고법에는 일본 사람들이 경우의 수 문제를 셀 때 기계적으로 P, C, 순열과 조합부터 시작한다고 기계적 학습법을 비판한다. 우리나라 교육의 전반적인 구조는 일본의 것을 답습해 왔기에 이는 우리나라에도 그대로 적용된다. 오늘 아침에 출제했던 퀴즈 304, 세 쌍둥이 문제가 바로

퀴즈 279 사각형 안의 점 사각형 안에 N 개의 점이 찍혀 있다. 이것으로 삼각형을 만들려고 하는데(내부의 점과 사각형의 꼭지점을 이용해서), 삼각형의 갯수는? 문제를 풀어보는데 주어진 답에 맞추려면 조건이 더 필요하다. 내부의 점들과 꼭지점으로 생기는 선분이 겹치는 경우를 금하자. 예를 들어 점이 두개 일 때 는 문제에서 요구하는 그림이 아니다.

며칠 전에 올렸던 문제의 일반화에 대해 더 고민을 해 보았다. 관련 글 링크 그리고 혼돈에 빠졌다. ㅋㅋㅋㅋㅋ 머리가 복잡하다 알고리즘 적으로 분명 쉽게 풀릴만한 문제 같은데... 너무 정보가 없어, 몇몇 사이트에 질문을 올렸더니 이 문제가 open problem 이라는 것이다. 아닛!?! 링크 16만 해도 불과 10년 전에는 값을 몰랐구나... 논문-링크

퀴즈 262 5개의 다이아몬드 5개의 다이아몬드의 무게 순위를 정확하게 결정하려면 천칭을 몇번 사용해야 하는가? 퀴즈 263 6개의 다이아몬드 6개의 다이아몬드의 무게 순위를 정확하게 결정하려면 천칭을 몇번 사용해야 하는가? 풀이 5개면 7번, 6개면 10번이 필요하다. 사실 이 문제는 조금 많이 번거로운 문제이긴 하다. 노가다성 방법 말고 어떻게 하면 이

앞선 글에서 수학 이야기[MVT] 가 나온 김에, 좀 더 수학 이야기를 해보자. 이번 포스팅에는 groupoid [우리말로는 준군]에 대해 다루어 볼까 한다. [오랜만에 좀 전문적인 내용을 다루어 본다.] 일단 Groupoid 는 group 을 확장한 개념이다. group 만 해도 공부할 거리들이 넘쳐나고 Finite groups, Lie groups, .....

퀴즈 235 십의 자리가 홀수인 제곱수의 일의 자리는 어떤 정수의 제곱으로 나타내는 수를 제곱수라 한다. 십의 자리가 홀수인 제곱수의 일의 자리는? @alphapowerup 님께서 십의자리가 홀수이던 짝수이던 일의자리와 상관없지 않느냐란 질문을 하셨다. 신기하게 "제곱수" 이기에 일의자리숫자가 십의자리 숫자의 홀짝성을 결정한다, 십의자리를

퀴즈 220 4개의 7 4개의 7을 가지고 100을 만들어라 7/0.7=10 이다 [일종의 넌센스 문제이다! ] 이를 이용하면 7/0.7 x 7/0.7=100 퀴즈 221 정사각형과 나무 626cm x 626cm 의 정사각형에 두 나무 사이의 간격이 최소 108 cm 가 되도록 하면서 최대 몇 그루를 심을 수 있을까? 가장 쉬운 guess 는 626/108=5.7