가장 일반적인 정의

사실 지수 s 를 복소수화 하지 않은 것이 가장 일반적인 정의 일것이다. s 가 자연수인 경우, p-test 를 통해 (p>1 이면 수렴) 무한급수가 수렴한다는 사실을 알 수 있다. 심지어 이러한 정수 s 가 even 인 경우, 여러가지 방법으로 수렴 값을 구할 수 있다.

[ 관련 포스팅

-[수학, 계산] 제타함수 계산법
-[[수학, 계산]zeta 4 : version 1 삼각함수 이용]
-[[수학, 계산] zeta 4 : version 2 푸리에 전개]
-[수학, 계산] zeta 4 : version 3 파사발 정리
-[수학, 계산] zeta2
]

사실 베르누이 수를 이용해 even number의 정확한 값을 쓸 수도 있다. [이번 포스팅 시리즈에서 한번 다루어 보도록 하자.]

적분을 이용한 정의

일단 analytic continuation 에 대해 이야기 하기 이전, 지수 s 가 정수인 경우에 국한지어 놓고 적분으로 이를 표현해 보자. 가장 쉬운 방법은 무한급수를 이용한 방법이다.

물론 이것도 여러가지 방법으로 쓸 수 있다.

오일러

오일러는 이 정수의 제타함수를 가장 잘 이해한 사람 중 하나이다. 그는 모든 자연수는 유일하게 소인수 분해가 될 수 있다는 것을 이용하여 리만제타 함수와 소수와의 관계를 보인 사람이다.

이 식을 한번 보여보자

두번째 등호가 잘 보이는가? 이게 잘 안보인다면, 직접 소수를 넣어서 전개해 보면 이게 성립한다는 것을 알 수 있을 것이다. 여기서 모든 자연수는 유일하게 소인수분해가 된다는 사실이 쓰였다.

이 방식이 잘 보이지 않는 사람들을 위해 다른 방식의 증명도 준비했다.

먼저 제타함수를 준비한 다음 1/2^s 를 곱하면 이는 1/n^s 에서 1/(2n)^s 의 합을 구하는 문제가 된다. 이를 처음 식에서 빼주면 세번째 줄을 얻는다.

이를 3에 대해서 반복해보자.

이 trick 이 이해가 되는가? 자 이제 모든 소수에 대해서 반복해보자

모든 소수를 고려한다면 우변은 1밖에 안남게 된다. [1은 소수가 아니다] 이로부터

얻고자 했던

를 얻는다.

오일러가 제타함수를 소수와 연관시키고 난 뒤, 많은 사람들이 이 제타함수에 대해 달려들었다. 그 중 유명한 수학자 중 한명이 리만이다. 리만은 이 제타함수의 지수 s 를 자연수에서 복소수로 확장시켰다. 그리고 더 나아가 그는 이 제타함수의 여러 성질들과 그 유명한 리만가설을 만들었다. - [관련 포스팅 [수학, 책] 리만가설, 사실 오일러의 방식은 이미 이 포스팅에서 소개한 바 있다.]

이에 대한 것은 다음 포스팅에서 알아보도록 하자.