1을 무한히 곱하면 그것은 무엇일까? 1을 유한번 곱하면 답은 1이다. 근데 1을 무한번 곱하면 1일까? [참고로 1을 무한번 더하면 무한대라는 것은 쉽게 짐작 가능하다.] 절대값이 1보다 큰 수의 경우에는 무한번 곱하면 무한대가 된다. 작은 수의 경우 무한번 곱하면 0이 될 것이다. 그러나 절대값이 1인 경우에는 어떻게 될까? 정답은 무한대이다. 사실 이는

퀴즈 445 동전던지기 A,B 가 동전던지기를 한다. A 는 6개의 동전을 B는 5개의 동전을 던진다. A 가 B 보다 앞면이 많이 나올 확률은? c.f) 참고로 (A : n+1, B: n) 의 경우에도 답은 같다. 풀이 사실 직관적으로 답이 1/2 인 것을 얻어 낼 수도 있다. 아니면 다음과 같은 표를 생각해보자 A 는 n+1 개 B 는 n 개가 있고 A

퀴즈 429 넓이비 전체 삼각형과 색칠한 삼각형의 넓이비는? 풀이 이 문제는 모든 변의 길이를 2:1 로 쪼개고 그 지점에서 선분을 그렸을 때 생기는 삼각형의 넓이를 구하는 문제로 사실 여러가지 풀이가 있겠다. 자신이 원하는 삼각형을 그린 후 좌표평면을 이용해서 계산해도 된다. 데카르트의 좌표계는 사실 이런 문제를 어떻게 풀지 모를 때 아주 좋은 도구가 되긴

각도 베타를 각도 알파와 원의 반지름 r, 그리고 거리 h의 값을 이용하여 구하면? 얼핏 보면 중3 기하학 문제로 보이는데요, 사실 기하 문제 맞긴 맞는데요, 현실 세계에서 이 것은 정지궤도 위성(Geostationary Satellite)이 지구를 바라볼 때 생기는 문제이기도 합니다. 저도 옛 기억을 떠올려서 얼른 계산 좀 해봐야겠네요. 총총총

지난번 포스팅에는, [수학] e, sin(1), cos(1), tan(1) is irrational e, sin1, cos1, tan1 이 무리수라는 것을 보였다. 테일러 급수를 이용해서 보인 것이었는데, 이번 포스팅에는 그 근사값을 구하는 것에 대해 알아보자. 이런 내용도 예전의 입시에는 단골 내용이었는데.... 먼저 e 부터 가보자. e 의 값은 2.71828

수능, 그리고 수시 시즌이 다가왔다. 오늘은 충분히 고등학교 수준에서 보일 수 있는, 이전에 대학 논술고사에서 비슷한 것들을 다룬적이 있는 주제를 가져왔다. e, sin(1), cos(1), tan(1) 이 무리수임을 보이는 문제인데, 이런 문제들을 직접적으로 보이는 것은 매우 어렵다. 귀류법을 이용하면 쉽게 보일 수 있는데, 한번 그 과정을 살펴보자. 1.

퀴즈 399 선택 문제 무작위로 10개의 웹 사이트에 들어가 각 페이지에 나오는 단어를 세어본다고 하자. 처음부터 페이지를 훑어보다가 가장 많은 단어 수로 되어 있을 법한 페이지를 만나면 멈춘다고 하자. 이런 방식으로 한 웹페이지를 선택하고 이게 실제로 가장 많은 단어 수의 웹 페이지가 될 확률은 얼마나 될까? 풀이 1/e 이 문제는 정확히 결혼문제, 비서문제와

퀴즈 393 7개의 방과 10명의 손님 7개의 방이 있는 호텔에 10명의 손님이 찾아왔다. 이 10명 중 어떤 7명을 선택해도 그 사람들이 서로 다른 7개의 방에 들어갈 수 있도록 전체 10명의 사람들에게 열쇠를 나누어 주고 싶다. 이 때 열쇠는 최소 몇개가 필요할까? 풀이 28개, 사실 이 문제에서 28개가 나오는 것은 쉽게 구할 수 있는데, 문제는 이 28개가

점화식과 관련된 3문제의 풀이를 한번 적어본다. 퀴즈 386 5개의 구슬 5개의 구슬이 들어있는 주머니 A와 비어 있는 주머니 B 가 있다. 한번에 구슬을 한개 혹은 두개씩 뽑아 A 의 구슬을 B 로 옮기려고 한다. 총 경우의 수는? hint : 이 문제는 쉽게 n 개의 구슬로 일반화가 가능하다. 한번에 구슬을 한개 혹은 두개씩 뽑아 이게 핵심 포인트이다.

오랜만에 수학, 상수와 관련된 책을 읽었다. 페르르 베크만의 파이의 역사란 책인데, 상당히 오래된 책이다. 이 책은 고대 시대부터 현대에 이르기까지 사람들이 어떻게 Pi를 계산했는가에 대해 다루고 있다. 수학에는 여러가지 유명한 상수들이 있다. 아마 그 중에 가장 대중들에게 유명한 상수는 pi 가 아닌가 싶다. 3.14159265359 ..... 이 끝도 없이

살아가면서 황금비의 이야기를 많이 들었지만, 백금(은)비 이야기는 별로 들은 적이 없었다. 사쿠라이 스스무가 쓴 "일상생활 속에 숨어있는 수학" 을 읽는 도중 백은비 이야기가 나왔다. 저자 자신이 일본인이라 그런지 일본 문화에서 등장하는 백은비에 대해 많이 강조한다. 일례로 황금비[숫자로 이야기 하면 8:5의 비율, 흔히 말하는 8등신 비율이

극장관에 커플들이 들어가 앉을 때 빈자리는 전체 공간의 몇 퍼센트가 될까? [편의상 길다란 한 줄만 생각하자] 상황 설명 극장 관에 커플들이 들어가 자리에 앉으려고 한다. 커플들은 2명이 한 조가 되어 빈자리에 앉는다. 다만 커플들은 항상 붙어 있어야 하며, 떨어져 앉을 수 없다. 이 때 커플들이 앉고 남은 자리는 전체 자리의 몇 퍼센트가 될까? [1인석들이

인간은 큰 스케일을 잘 인지하지 못한다. 10cm 와 1 m 의 10배 차이는 쉽게 인지하지만, 1m 와 10m 의 차이는 잘 인지하지 못한다. 십만원과 백만원의 차이는 매우 크게 느껴지지만, 100억과 1000억은 그렇게 커 보이지 않는다. 우리는 선형 그래프에 익숙하고 선형 그래프가 우리의 직관과 관계 있다고 하지만 실상 이러한 큰 숫자를 바라보는 우리의

1480 년대 후반 독일의 수학자 요한 비드만이 +, - 의 기호 사용 [ +의 경우 이전 이탈리아의 수학자 레오나르도 피사노가 만들었다는 설도 있다. 피사노는 대략 150개의 기호를 만들었는데 그 중 몇개가 살아남았을려나 ] 1525년 독일의 수학자 크리스토프 루돌프가 제곱근 기호 (root, ) 를 사용 [당시 이 root 는 짧은 루트로 우리가 쓰는 긴

여성 최초의 수학 박사학위를 받은 수학자시아의 소피아 코발렙스키야가 있다. 사실 원래 대학기관은 성직자를 양성하기 위한 기관이고, 성직자란 것이 대부분 남성이었기에 대학교육은 남성 위주의 수업이 될 수 밖에 없었다. 이 남성 위주의 대학을 깨나가기 시작한 것이 19세기 중후반이다. 이에 해당하는 대표적인 수학자로는 러시아 출신으로 독일의 괴팅겐에서 박사학위를

수학 퀴즈나 퍼즐 문제들을 풀다보면 분배 문제가 자주 등장한다. 공평한 분배? 참가자 모두가 만족스러운 분배를 하려고 하면 어떻게 해야 할까? 일반적으로 두 사람의 분배문제가 가장 많이 등장하는데, 일단 두 사람의 분배 문제를 먼저 다루어 보자. 가장 대표적으로 두 사람의 케익 분배 문제가 있다. 케익이 균등하게 생긴 것이 아니라면, [예를 들어 초코 케익의

일전에 소개한 컴퓨터 과학자, Manindra Agrawal 의 Riemann Hypothesis and its Applications" youtube 강의를 드디어 다 들었다. 교재는 따로 없고 참고문헌 두 개 있는데 하나는 Problems in Analytic number theory by Ram Murty [이 책은 그냥 문제있고 답이 나와있는

지난 포스팅에서 이 이야기를 했다. 사실 zeta(-1) 의 경우 regulator 를 이용한 방법에 대해 이미 소개를 한 적이 있다. [관련 포스팅 [수학, 과학(?), 계산] 1+2+3+ ... = -1/12 와 Regulator ] 베르누이 숫자를 이용한 것도 이미 이전 포스팅에서 소개했다. zeta 함수의 reflection functional equation

왜 zeta function 의 analytic continuation 이 의미가 있는가에 대해 알아보자. 원래 zeta 함수는 s 가 정수일때 정의되었다. 저 급수는 p-test 에 의해서 s>1 일때만 수렴한다. 오일러에 의해 이 제타함수가 소수와 관련이 있다는 것을 알게된 후 부터 사람들은 이 zeta 함수의 s 를 정수에서 더 확장시키기 위해 애써왔다.

2019.07.31 얼굴이 구멍투성이가 됬다 습고 더운 날씨와 잠 부족 때문인 걸까 손은 또 가만히 있지 못하고 나의 3차원 다양체(얼굴) 에 genus 의 수를 늘리는 그런 짓을 하고 있다 Hole 주변의 붉은 부분에서 미적분이 잘 적용되도록 함수를 정의하고 싶은데 ㅋㅋㅋㅋ 아니면 이 hole 혹은 다른 단면에 다른 다양체를 붙이는(surgery) 작업을