요즘 일본인 수학자들이 쓴 수학 대중서를 즐겨 읽고 있다.
요시자와 미쓰오의 수학적 사고법에는 일본 사람들이 경우의 수 문제를 셀 때 기계적으로 P, C, 순열과 조합부터 시작한다고 기계적 학습법을 비판한다.
우리나라 교육의 전반적인 구조는 일본의 것을 답습해 왔기에
이는 우리나라에도 그대로 적용된다.
오늘 아침에 출제했던 퀴즈 304, 세 쌍둥이 문제가 바로 이 사례를 보여준다.
3 쌍둥이가 있다. 이 6명이 일렬로 줄을 설 때, 쌍둥이끼리는 이웃하지 않게 서는 경우의 수는?
고등학교 수업을 열심히 들었던 사람들은 대게 이런 문제를 순열과 조합 문제로 생각하고 접근한다.
그러면 매우 어려워진다. [포함과 배제의 원리를 이용하여 풀 수는 있다. ]
사실 이 문제는 그냥 간단히 세어 보면 된다. counting!
자 한번 풀어보자.
세 쌍둥이를 (a1, a2), (b1, b2), (c1,c2) 라 하자
그러면 저 문제는 같은 문자 끼리는 이웃하지 않는 경우의 수를 세면 된다.
그림판을 이용해 보았다.
처음 동그라미에는 6개가 들어갈 수 있다. 두번 째 동그라미에는 처음 동그라미의 쌍둥이가 들어갈 수 없으니까 4가지가 들어갈 수 있다. 세번째 동그라미를 생각하면 두가지 경우가 올 수 있다. 처음의 pair 혹은 다른 쌍둥이
이 두가지 경우를 나누어 각각 고려하면 된다.
(i) 처음의 pair 일 경우, 이웃하지 않게 조합하는 경우의 수는 2가지이다.
(ii) 처음의 pair 와 다를 경우, 세번째 위치에는 2가지 경우가 가능하다. [이 경우는 처음에 a_1 를 뽑고 두번째에 b_1 를 뽑았다고 하면 세번재는 c_1, c_2 둘 중 하나를 뽑는 경우가 된다. ] c_1 을 뽑았다고 하자 그럼 네번째 위치는 a_2, b_2 두 가지 중 하나가 된다. a_2 를 뽑았다고 한다면, 그 다음 다섯번째와 6번째를 (b_2, c_2) 를 나열하는 방법인 2가지가 된다. ]
즉 가능한 총 조합의 경우의 수는
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好久没吃上烧烤了
出门在外多吃点好的，多注意身体。