퀴즈 235 십의 자리가 홀수인 제곱수의 일의 자리는

어떤 정수의 제곱으로 나타내는 수를 제곱수라 한다.

십의 자리가 홀수인 제곱수의 일의 자리는?

@alphapowerup 님께서 십의자리가 홀수이던 짝수이던 일의자리와 상관없지 않느냐란 질문을 하셨다.

신기하게 "제곱수" 이기에 일의자리숫자가 십의자리 숫자의 홀짝성을 결정한다, 십의자리를 고려하기에 일단 WLOG (Without Loss of generality), 일반성을 잃지 않고 해당 수를 10a+b 로 생각한 뒤에 그 제곱을 전개하여 분석 해보자. [ 여기서 a,b 는 0에서 9 까지의 정수이다. ]

제곱을 전개하면 다음과 같다.

(10a+b)^2 = 10(10a^2 + 2ab) +b^2

그러면 10의 자리수는 일단 10a^2 + 2ab 혹은 b^2(b2 이 십보다 크거나 같다면) 에 의해 결정될 것이다. 근데 10a^2 + 2ab 는 짝수이다. [10a^2 + 2ab = 2 (5a^2 +ab) 즉 2의 배수이니 짝수이다.]

즉 십의 자리를 홀수로 만드는 것은 b^2 의 십의 자리가 홀수가 되야 한다.

b 가 가질 수 있는 범위가 0-9 까지 열가지니까 그냥 한번 해보자.

b=0, b^2 =0 (X)
b=1, b^2 =1 (X)
b=2 b^2 =4 (X)
b=3 b^2=9 (X)
b=4, b^2=16 (O)
b=5, b^2 = 25 (X)
b=6, b^2 = 36 (O)
b=7, b^2 = 49 (X)
b=8, b^2 = 64 (X)
b=9, b^2 =81 (X)

즉 b^2 의 십의자리가 홀수가 나오는 경우는 b=4 혹은 b=6 일 때 분이다.

그리고 이 떄의 일의자리는 6,

즉 십의자리가 홀수인 제곱수의 일의 자리는 6이다!

c.f) 제곱수의 마지막 두 자리가 25라면, 백의 자리는 어떤 숫자가 올 수 잇을까?

답 : 0,2,6 이다. 여러가지 방법으로 확인할 수 있다.

hint : 제곱한 수의 마지막 두 자리의 수가 25라면 이 수는 무조건 5^2 을 인수로 갖는다.

여기서 기본형 25에 홀수의 제곱을 곱해보자.