Las soluciones de una función cuadrática

Muchas veces nos explicaron que para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado, las que tienen la variable independiente elevada al exponente 2 (X²), deberíamos usar la fórmula cuadrática, de manera que se calculen los puntos de intersección, pero debemos tener presente que existen otros métodos matemáticos para encontrar los ceros de este tipo de función y es lo que explicaré en este nuevo artículo de @ycam.

Fórmula general:

Ya se ha visto una representación gráfica de la distancia recorrida por un móvil en función del tiempo, cuya gráfica se corresponde con una media parábola y su ecuación es: X(t) = ½·a·t² + V₀·t + X₀, una representación clara sobre la aplicación de la Matemática en la Física (Cinemática). Pues este caso particular tiene su origen en una fórmula general de una ecuación de segundo grado:

Note que el grado de la función es 2 y con la condición que el coeficiente a sea diferente de 0.

Voy a usar un ejemplo presentado en nuestra comunidad stem-espanol, donde se resolvió la siguiente ecuación de 2do grado:

Y = 2X² – 12X + 16

En la gráfica anterior, se observa en violeta los puntos evaluados de la función cuadrática y los puntos (2,0) y (4,0) se corresponden con los ceros de la función, los cuales se corresponden con los valores obtenidos anteriormente usando la fórmula cuadrática.

También podemos usar un método de factorización alternativo de puntos medios en la función cuadrática y que funciona perfectamente para otro tipo de problema.

Fórmula Cuadrática

Si bien estamos tratando una ecuación de 2do grado o una función cuadrática, también podemos verla como un trinomio y realizar una factorización de términos para obtener los valores de los ceros de la función o raíces que satisfagan esta ecuación. En el proceso de factorización se me hará más fácil considerar que el coeficiente a sea igual a la unidad (a = 1) para simplificar el análisis y no confundirnos con pasos adicionales.

Podemos relacionar los términos de la factorización en el punto medio de (X₁ + X₂), visto sobre una línea dividida en tantas unidades como sea el resultado de (X₁ + X₂)/2

Note que si usamos los coeficientes de la función cuadrática con los términos de la factorización, podemos inferir que si el punto medio es 3 y la separación entre (X₁ + X₂) = 6, entonces es factible escribir las siguientes igualdades:

X₁ = 3 − p

X₂ = 3 + p

se cumple la relación:

(X₁ + X₂) = 6 = (3 − p) + (3 + p)

también es claro que:

(X₁ · X₂) = 8 = (3 − p) · (3 + p)

(X₁ · X₂) = 8 = (9 + 3p − 3p − p²)

p² = 1

p = 1

Nuevamente obtenemos las soluciones posibles de la ecuación de segundo grado:

X₁ = 3 − p = 3 − 1 = 2

X₂ = 3 + p = 3 + 1 = 4

Queda demostrado que la ecuación de la función cuadrática original

f(X) = 2X² – 12X + 16

puede reescribirse de manera equivalente

f(X) = X² – 6X + 8

y obtenerse los mismos ceros de la función. También se obtiene X₁ = 2 y X₂ = 4 de manera gráfica!

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Se puede demostrar que si la forma de una parábola es Y = (X-h)² + d, entonces podemos encontrar sus vértices, eje de simetría y dibujar un boceto o hacer una gráfica sin mucho esfuerzo ni dificultad. Sin embargo, la función cuadrática generalmente se da en la forma general o expandida Y = aX² + bX + c. La técnica del cuadrado nos permite cambiar la ecuación dada a la forma deseada. Lo que quiero señalar con esto es que podemos realizar ciertas operaciones como completar el cuadrado, sumar, restar y multiplicar el cuadrado por la mitad del coeficiente de X, todo validado en las demostraciones y herramientas sólidas que nos permiten las Matemáticas puras. Lo que sí debemos tener muy presente es que se deben cumplir ciertas condiciones necesarias para obtener soluciones de una función cuadrática:

• 1) Determinar el discriminante de la función: D = b² − 4·a·c
• 2) Si D < 0, entonces no habrá corte con el eje X y posiblemente entraremos en el campo de los números complejos
• 3) Si D = 0, entonces los ceros de la función serán reales iguales
• 4) Si D > 0, se obtendrán 2 raíces con números reales distintos

Mi compromiso para este año 2021 será la publicación de artículos con contenido en el área de Tecnología e Ingeniería con mayor calidad y originalidad en esta nueva red de comunicación social llamada HIVE.BLOG y tratar de complementar con varios problemas de Matemática: Cálculo Integral y Diferencial que tantos días de estudio me llevó durante mis estudios universitarios.

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:

• Monografía: Factorización de la fórmula general de segundo grado
• Imagen de Jorgeduardo: Profesora
• Imagen de Jorgeduardo: Profesora y pizarra
• Dibujo de Jorgeduardo: Papel sobre madera
• Notas precálculo: Polinomios
• Portal: Ceros de la función cuadrática
• Coursera: Ceros de funciones

¿Cuál es la solución de una función cuadrática?
En la práctica, los puntos de intersección de la gráfica de este tipo de función se corresponde con los ceros de la función, pero también con las raíces de la función cuadrática. En este artículo vimos el procedimiento analítico de la factorización de un polinomio para hallar la solución de la función de segundo grado.