Hola de nuevo amigos de steemit
Para este post continuo con la explicación de la teoría de combinaciones abordada anteriormente desde las variaciones, para los interesados en el tema los invito a ver combinaciones-permutación. Recordemos que las permutaciones son variaciones de m elementos tomados m a m, para formar grupos según las presentes condiciones:
Y para tales procesos concluimos escribir las permutaciones en su expresión matemática de la siguiente forma:
Ahora para definir combinaciones se siguen formando grupos, pero bajo otras concidiones descritas así:
Dados m elementos, llamaremos combinaciones de orden n con m
n a los diferentes grupos que se pueden formar tomando n de los m elementos dados, de manera que dos cualesquiera de esos grupos se consideran diferentes cuando difieran en uno, al menos, de sus elementos.
Como ven a diferencias de las variaciones en este proceso no importa el orden en que estén dispuestos los elementos. Por ejemplo abcd y cadb son variaciones distintas pero una misma combinación; solo un conjunto que contenga algún otro elemento, por ejemplo, abde, se considera como una nueva combinación.
Para comprender mejor como se forman las combinaciones, tomemos, por ejemplo y de nuevo las cuatro letras: a, b, c, d, y escribamos sus combinaciones de primer orden, segundo, tercero y cuarto. Entonces resulta:
Para las de primer orden son:
Para las de segundo orden, se agregan sucesivamente a las del primer orden las letras que le siguen:
Las combinaciones de tercer orden se obtienen agregando a cada del segundo orden las letras que le siguen en sucesión, una a una: resulta así:
Puede notarse que a las combinaciones ad, bd y cd, no les sigue ninguna letra en sucesión, por lo tanto no hay combinaciones de tercer orden para estas. Las de cuarto orden se obtienen agregando las letras que le siguen en sucesión, una a una, de manera que nos queda :
Es evidente que las combinaciones abd, acd y bcd no les siguen ninguna letra en sucesión y por ello quedan descartada, entonces con estas mismas observaciones se pueden realizar ejemplos similares, luego en general, podemos decir que:
El número de combinaciones de orden n que pueden formarse con m elementos se designa por
En efecto consideremos el conjunto formado por los elementos a, b, c y d. Si formamos todas las variaciones binarias con esos cuatro elementos, y las ordenamos por verticales, en forma tal que en cada vertical figuren las permutaciones de los mismos elementos, se tiene:
El numero de estas variaciones es
de donde:
En general, cada combinación de orden n da origen a
Procediendo en forma análoga con ejemplos similares, en general se puede establecer lo siguiente:
o reemplazando a
es decir, el número de combinaciones de orden n de m elementos es igual al cociente de dividir el número de variaciones
Por ejemplo:
Con el propósito de dar otra expresión a las combinaciones y la cual es muy conocida, multipliquemos los dos términos de la fracción por el numero:
entonces tenemos:
Pero si nos fijamos en el numerador de esta nueva fracción es igual a
Fórmula, que por aceptar que
Por ejemplo la expresión anterior es útil para resolver problemas del tipo:
Análisis: Por geometría se sabe que dos puntos determinan recta y sólo una; el orden de los puntos no importa, pues siempre determinan una misma recta. El problema es entonces de combinaciones de los 7 puntos tomados 2 a 2. Entonces, se tiene:
21 rectas se pueden formar al unir 7 puntos de un plano.
Análisis : Si nunca estuvieran en línea recta, el número de rectas que pueden trazarse seria :
O sea,
como ven 61 rectas se pueden formar.
Este post es parte de un análisis de las combinaciones de objeto, elementos o todo aquello que se puede expresar a través de números, y explicado aquí lo mas detallado posible. Gracias por tomarse el tiempo para ver este pequeño contenido y espero que sea utilidad o de interés para ustedes.
Bibliografia :
