지금까지 감마함수에 관한 포스팅들을 많이 써왔는데 정작 감마함수의 정의들이 서로 같다는 것을 보이는 것은 소홀했던 것 같다.
감마함수 관련 포스팅
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[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전2 : 복소 함수를 이용한 풀이
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전3 : 미분방정식을 이용한 풀이
[수학, 계산] 감마함수의 전개 1-기본편
[수학, 계산] 감마함수 전개 2 : 계산 및 응용
여러 정의에 대해서는 소개한 적이 있었는데 그것들이 서로 같은 것임을 보이는 것은 하지 않았었다. 그래서 이번 계산 포스팅에서는 그것을 해보려고 끄적여 봤다.
포스팅의 목적은 위의 감마함수의 다양한 정의들이 사실 서로 같은 것을 나타내는 것을 보이려고 한다. 먼저 이번 포스팅에는 팩토리얼의 식과 가우스, 오일러의 감마함수의 정의가 서로 같음을 보여 보도록 하자.
가우스의 감마함수 정의
가우스의 감마함수에는 팩토리얼과 지수함수의 형태가 같이 들어가 있다. 이 정의는 주로 스털링 근사 공식을 유도할 때 유용하게 쓰인다.
일단 (z-1)! [z-1 의 팩토리얼] 과 가우스 정의가 동등하다는 것을 보여보자
여기서 n 은 임의의 숫자이기 때문에 특별히 n 을 무한대로 잡을 수 있다. 그러면 극한에 따라 (1+k/n) 항들은 모두 1로 수렴하게 되고 다음과 같은 식을 얻는다.
즉 이로써 가우스의 감마함수가 팩토리얼의 정의와 같다는 것을 보였다.
오일러의 감마함수 정의
오일러의 감마함수의 정의는 무한개의 항의 곱으로 감마함수를 표현한 것으로 의외로 여러가지 수학 이론에서 많이 쓰인다. 특별히 Modular properties 를 연구하는 분야에서 어떤 함수의 무한개의 곱의 표현을 자주 쓴다. [사실 이와 관련해서 q-expansion 이라고 여러 특수 함수들이 있다.]
여기서 보일 것은 오일러의 감마함수 정의가 가우스의 정의와 같다는 것을 보이려고 한다. 가우스의 정의가 팩토리얼의 정의와 같으니까 당연히 가우스=오일러=팩토리얼 을 보이게 되는 셈이다.
중간에
와
가 쓰였다.
