이번 포스팅에서 계산하고 싶은 것은
위와 같은 감마함수의 전개입니다. 위 계산 결과는 물리나 공학에서 많이 사용하고 있는데 의외로 이 근사의 증명 과정은 잘 나와있지가 않더군요. 일단 상수항 까지 전개한 결과는 쉽게 찾아볼 수 있고, 조금 약간의 노력을 더 하면 x 까지 전개한 계수를 찾아볼 수 있습니다만 x^2 오더까지 계산된 문서가 없어 한번 작성해 봤습니다.
계산 과정을 자세히 설명하기 위해 관련 기본 성질들에 대한 기본편 하나와 그 식들을 이용하여 결과를 유도하는 편, 이렇게 두 편을 나누어 보았습니다.
먼저 가장 흔한 정의가 바로 z 가 정수일때 부분적분을 통해 팩토리얼을 얻는 적분형의 감마함수 정의가 있습니다
오일러의 감마함수 정의
Weierstrass 의 감마함수의 정의
이 정의에서 감마 상수가 나오는데 감마 상수는 다음과 같이 정의됩니다.
감마함수를 다루다 보면 그것의 미분과 연관된 함수들 digamma, trigamma, polygamma 함수들을 마주치게 됩니다. 이들은 감마함수의 미분 형태로 정의가 됩니다.
먼저 digamma 의 경우
재밌는 사실은 감마함수 재귀적 성질로 인해서 이런 polygamma 함수들 역시 재귀적 성질을 띈다는 것입니다.
이런 점화식을 풀면 [고등학교 때의 계차수열입니다]
중간에
를 사용했습니다. [이 식은 바로 뒤에서 증명할 것입니다]
psi 에 대한 수열을 미분하면
이 역시 계차수열로 위와 동등한 방법으로 일반항을 구할 수 있습니다.
또한 이런 di, tri gamma 함수들을 gamma 함수로 다시 표현할 수 도 있습니다.
단순하게 맨 위의 식을 미분해서 아래 식들을 얻은 겁니다.
수열의 일반항들에서 초기값 1 들이 정해지지 않았기에, 완전하게 수열의 점화식을 풀기 위해서 1의 값들을 구할 필요가 있습니다.
Euler 버전의 감마함수의 로그값을 미분하면 자연적으로
를 얻게 됩니다. 이를 다시 digamma 에 넣으면 앞에서 구한
식이 나오게 되죠. 감마상수는 미분하면 0이 됨으로 이 함수들로 부터 미분값의 초기값을 얻을 수 있습니다.
즉
를 얻고 여기에 1을 대입하여
들을 얻게 됩니다. 제타 함수에 대한 계산은 이전포스팅 을 참조하시면 될 것 같습니다.
이 정도의 지식이 있으면 이제
식을 계산 할 수 있습니다. 관련 계산은 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다. ㅎㅎ
감마함수 관련 예전 포스팅
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전1 : Basel problem 을 이용한 풀이
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전2 : 복소 함수를 이용한 풀이
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전3 : 미분방정식을 이용한 풀이
