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La especificación de estos contratos puede ser muy compleja, con limitaciones en el volumen de ejercicio en un momento dado, y en el volumen total ejercido a lo largo de la vida de la opción. Este tipo de opción, conocida genéricamente como opción swing, también puede utilizarse en el espíritu de la teoría de las opciones reales para captar la opcionalidad en la gestión de activos físicos como centrales eléctricas o instalaciones de almacenamiento de gas, integrando posiblemente restricciones adicionales para tener en cuenta las características físicas del activo en cuestión. Esta aplicación demuestra el estrecho vínculo entre las finanzas computacionales y la investigación operativa.
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Los fundamentos teóricos necesarios para el estudio de estos instrumentos requieren el análisis de complejos problemas de control estocástico. Se trata de un campo de investigación bastante nuevo. En este sentido podemos mencionar algunas contribuciones importantes en está línea, a saber:
La primera contribución de K. Wiebauer tiene carácter de encuesta. Ofrece una visión general, con ejemplos ilustrativos, de algunos modelos comunes de tipos de opciones con múltiples derechos de ejercicio en los mercados de la electricidad y el gas.
Las contribuciones de M. Bernhart, H. Pham, P. Tankov y X. Warin muestran un nuevo enfoque probabilístico para la fijación de precios de las opciones swing utilizando la representación BSDE de los problemas de control de impulsos con saltos restringidos, los cuales fueron tratados por I. Kharroubi, H. Pham, J. Ma y J. Zhang.
Ellos se enfocan en un procedimiento de penalización original para tratar las restricciones de los saltos. El algoritmo de precios efectivos combina un esquema de aproximación de la discretización temporal con aproximaciones clásicas de mínimos cuadrados de Monte-Carlo. Por último, se realizan simulaciones numéricas y el papel de los diferentes parámetros del modelo (intensidad de los saltos, coeficiente de penalización y paso de tiempo), coeficiente de penalización y paso de tiempo.
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Similarmente F. Turboult e Y. Youlal desarrollan una nueva metodología de Monte-Carlo para valorar opciones de ejercicio múltiple con una única fuente de incertidumbre. Se basa en la búsqueda del límite óptimo de ejercicio caracterizado como el punto que maximiza una expectativa que puede estimarse mediante métodos de Monte-Carlo. Lo cuál demuestra que el algoritmo propuesto alcanza una precisión del mismo orden que el de Longstaff-Schwartz, para una menor complejidad computacional, como confirman los resultados de los experimentos numéricos.
Cabe mencionar que X. Warin analiza los modelos de gestión del almacenamiento de gas y los problemas de optimización estocástica relacionados. El problema de gestión óptima de activos se aproxima mediante un problema de control estocástico bang-bang. Las estrategias óptimas de cobertura que se desarrollan, se calculan mediante técnicas de tangente condicional. Los fundamentos matemáticos de estos algoritmos se presentan en la contribución conjunta complementaria propuesta por X. Warin y B. Bouchard.
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La contribución de J. F. Bonnans, Z. Cen y T. Christel esta basada en un análisis de un modelo de gestión de contratos de materias primas a medio plazo cuando la variable de estado es multidimensional y la aleatoriedad entra en los precios sólo en los momentos en que se intercambian las materias primas. Se ofrece un análisis de sensibilidad con respecto a los parámetros que determinan el precio. La evolución estocástica de los precios y las funciones de valor de Bellman las cuales se aproximan utilizando una malla de cuantificación de Voronöi. Su mayot aporte es la aplicación del teorema de Danskin para el cálculo de las sensibilidades del problema de decisión dinámico estocástico.
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Espero que les haya gustado está serie de las matemáticas aplicadas a las finanzas. Si alguno está interesado en leer y ampliar más el tema, los invito a leer los siguientes libros:
- A. Doucet, J. F. G. de Freitas and N. J. Gordon (eds.) Sequential Monte Carlo Methods in Practice. New York: Springer-Verlag, 2001.
- G. Allaire. Numerical analysis and optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation (Numerical mathematics and scientific computation). Oxford university Press, USA, 2007