최근에 어떤 분이 재미있는 문제를 소개해주셔서 그 문제에 대해 글을 작성할까 한다. "모든 자연수의 분할수의 역수의 합이 수렴함"을 증명하는 문제였는데 그 당시에는 조금 어려운 방법으로 풀었었지만 운 좋게도 우연히 더 쉽고 아름다운 풀이를 알게 되었다.
먼저 '분할수'란 무엇일까? 쉽게 설명하면, n의 분할수 p(n)은 n을 자연수의 합으로 나타내는 방법의 수를 말한다. 자연수 6의 경우를 보자. 6을 자연수의 합으로 나타내는 방법의 수는 몇 가지나 될까?
6 (이렇게 쓰는 경우도 한 가지로 본다.)
5+1 (주의 : 1+5나 5+1 은 같은 경우로 본다.)
4+2
4+1+1
3+3
3+2+1
3+1+1+1
2+2+2
2+2+1+1
2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1
총 11가지다. 따라서 6의 분할수, p(6)은 11과 같다.
사실 n의 값이 커질 때 p(n)은 대략
에 근접한다는 사실이 알려져 있지만 문제에서 그걸 이용할 것을 의도하지는 않았을 것으로 보인다.
문제에서 요구한 급수의 수렴성을 보이기 위해 자연수 n을 세 개의 자연수의 합으로 나타내는 방법의 수를
이라 하자. n이 3 이상이면 이 값이 1 이상 p(n) 이하의 정수라는 것은 당연하다. 이제
이므로 우리는 급수
가 수렴함을 보이면 된다.
여기서 놀랍게도 우리는
의 일반항을 구할 수 있는데 결론부터 말하자면 우리가 쉽게 접하는 등차수열의 일반항
이나 피보나치 수열의 일반항
등등과는 조금 다른 모습으로 주어진다.
의 일반항은
에 가장 가까운 정수다.
따라서 급수
의 수렴성은 바젤 문제로도 유명한 다음 급수
와의 비교판정법으로 쉽게 증명된다.
글이 길어질 것 같아
의 일반항을 구하는 방법은 다음 글에서 다뤄보도록 한다.
