La mayoría de las personas no suele establecer diferencias entre matemáticas y cálculo, hasta el punto de que, muchas veces, identifican por completo éste con aquéllas. Pero sería una gran ingenuidad pensar que es necesario o suficiente saber calcular con rapidez para convertirse en matemático.
Hay que reconocer que el campo en que el matemático se mueve con verdadera familiaridad es el de los números, hasta el punto de que hoy en día la geometría ha ido cediendo terreno al estudio de su representación mediante sistemas de ecuaciones, y el ideal es poder traducir fielmente una situación por medio de números, plantear un problema con ecuaciones y resolverlas. No siempre se consigue esto, pero ha habido algunos progresos espectaculares, como, por ejemplo, la demostración que se hizo en 1976 de la conjetura ya formulada por un aficionado que se había preguntado si serían suficientes cuatro colores para colorear cualquier mapa geográfico, de tal modo que dos países vecinos tuviesen siempre colores diferentes. Como resultado de cien años de investigaciones, los americanos Appell y Haken lograron imaginar un cálculo que podría ofrecer una respuesta, y lo “hicieron” efectuar por computadora; 1930 horas después, el problema que había logrado intrigar hasta a los geógrafos se resolvió afirmativamente
La abstracción matemática; Se ha caricaturizado a menudo al matemático, mostrándolo como un ser distraído, incluso limitado. Con ello se juzga bastante mal una ciencia que requiere imaginación y viveza de espíritu por encima de todo. Todo el desprecio se deriva de la abstracción, ardua pero indispensable, que va indisolublemente unida a las matemáticas y que perjudica su popularidad. Mientras que la física estudia los objetos que existen independientemente del hombre (al menos lo natural es pensar eso, y el físico no se esfuerza mucho en saber si ha descubierto o inventado el electrón), el matemático estudia seres abstractos de quienes es padre, pero a los que conoce imperfectamente. Resulta impresionante que Arquímedes inventase y utilizase el número π, relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, pero que haya hecho falta esperar casi dos mil años para tener la prueba de que π no es igual al cociente de dos números enteros.
Las matemáticas son la ciencia del razonamiento y, por tanto, del rigor. Se les exige que proporcionen la certeza al ingeniero, y por esa razón el trabajo del matemático consiste en demostrar, rechazando las aproximaciones. Todo el mundo ve con claridad que por un punto exterior a una recta se puede trazar una, y solo una, paralela a esa recta. Sin embargo, Euclides, que fue el primero en imponer, en el siglo III a.C, ésta exigencia de rigor, creyó conveniente subrayar que esa era una verdad incierta, puesto que no se sabía cómo demostrarla. Y tuvo razón, ya que se probó en el siglo XIX, que se podía aceptar o rechazar dicho postulado sin correr por ello el riesgo de hallar una contradicción en un razonamiento lógicamente correcto. Pero la paradoja más asombrosa de las matemáticas tal vez siga siendo la de haber sido capaces, gracias al cálculo de probabilidades, de expresar el azar mediante ecuaciones. ¿Qué es hacer matemáticas? He aquí una gran pregunta, ¿es contar?. No, por cierto: a los tenderos, aunque se pasan el día calculando, a nadie se le ocurre elevarlos al rango de matemáticos. Los matemáticos no son los que cuentan, sino los que inventan como contar. Hacer matemáticas es imaginar y razonar, sobre todo imaginar. Así pues, partiendo de lo que es fácil y conocido, se trata de atacar aquello que parece inabarcable y desconocido. De este modo, conociendo el volumen del cubo, es necesario encontrar un método para hallar el de la esfera, aunque un cubo y una esfera tengan bien poco en común. También hay que imaginar métodos que permitan calcular cosas sobre objetos que parecen, en principio, no prestarse a ello. Tal es el caso de los nudos. Pero hacer matemáticas es también otorgar todo el lugar que le corresponde a aquello que podría ser el enemigo mortal de la imaginación: el rigor. Quien analice una partida de ajedrez habrá de razonar rechazando toda imprecisión, si no quiere perder; así le sucede al matemático, que acosa lo desconocido.
