Propiedades algebraicas de los números complejos
Una vez habiendo definido algunos aspectos básicos de los núneros complejos (Ver artículo abterior Fuente), ahora continuamos con las propiedades algebraicas que se cumplen en este sistema.
Ley conmutativa de la suma y la multiplicación
Prueba de la suma
Ley asociativa de la suma y la multiplicación
Prueba.
Por lo tanto
Prueba de la multiplicación.
Por lo tanto
Cambinando la multiplicación con la suma tenemos
Prueba.
Por lo tanto
De acuerdo a la ley conmutativa (1) podemos escribir
entonces
Elemento neutro de la suma y de la multiplicación
Prueba.
Los inversos aditivos y multiplicativos
tal que
Existe uno y solo un inverso aditivo para cada número complejo, es decir
Este inverso aditivo lo podemos usar para definir la resta de números complejos
Procedamos a deducir este inverso multiplicativo.
Por la definición del producto de número complejos tenemos que se deben satisfacer el siguiente par
Resolvamos entoces este sistema de ecuaciones
Sustituimos este valor en (1)
Entonces el inverso multiplicativo se expresa de la siguiente forma
Con esta ecuación (8), terminamos este artículo, continuaremos con el uso de este inverso multiplicativo en la definición de la división de los números complejos que veremos en el próxima entrega.
Bibliografía
- Churchill R., Brown J., Verhey R. Complex variables and applications. 3th. Ed. McGraw-Hill, New York, 1976.
- Spiegel M. Variable compleja. McGraw-Hill (Serie Schaum), México, 1971.
- Saff E., Snider A. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 3th. Ed. 2003