در ادامهی مطالبی که در ارتباط با یادگیری ماشینی نوشتم، تصمیم گرفتم اشارهای به روش تقریبات متوالی داشته باشم که در حل عددی معادلات مورد استفاده قرار میگیرد.
اول یک مطلب در خصوص زمینهی این مبحث ذکر میکنم. حدود سی سال قبل، از سری کتابهای «کتابخانهی کوچک ریاضی» که از سوی انتشارات میر روسیه (شوروی آن زمان) به روسی و بعداً به انگلیسی منتشر شده بود، کتاب «روش تقریبات متوالی» نوشتهی نائوم ویلنکین را ترجمه کردم که فایل قابل دانلود آن در اینترنت موجود است.
یکی از روشهای متداول برای حل عددی معادلهها از طریق تقریبات متوالی، روش نیوتن است. تفسیر هندسی این روش به این صورت است که اگر فرمول معادله را بهعنوان یک تابع در نظر بگیریم که میخواهیم محل تقاطع آن با محور ایکسها را به دست آوریم، در آن صورت یک نقطهی دلخواه را از محور ایکس در نظر میگیریم و مقدار ایگرک را برای آن ایکس به دست میآوریم. سپس از این نقطه مماسی بر منحنی تابع رسم میکنیم. از آنجا که شیب این خط برابر با مقدار مشتق تابع در آن نقطه است، بنابراین، میتوان با محاسبهی مشتق، ضریب زاویهی خط مماس را به دست آورد. بنابراین، با داشتن تانژانت زاویهی خط مماس با محور ایکسها، میتوانیم محل برخورد این خط مماس با محور ایکسها را به دست آوریم. این نقطه بهعنوان تقریب بعدی در نظر گرفته میشود و این فرآیند تکرار میشود. در هر بار تکرار این فرآیند، به نقطهی برخورد منحنی تابع با محور ایکسها که جواب مطلوب معادله است، نزدیکتر میشویم.
این روش بهعنوان «روش نیوتن-رافسون» برای حل عددی معادله از طریق تقریبات متوالی شناخته میشود.