비둘기집의 원리 - 무리수와 무한급수 (마지막)

지난 포스팅에 이어서 이번에는 무리수의 근사와 무한급수에 대해 다루어 보겠다. 이 부분은 지난 포스팅의 Section 2-3과 연결된다.

1. 무리수의 근사

먼저 임의의 무리수 와 자연수 을 잡자. 집합 를

로 잡자. 단, 은 의 소수 (decimal) 부분을 나타낸다. 지난번의 포스팅에서도 보았겠지만,

폐구간 [0,1]을 개의 균등 구간으로 위와 같이 나누면, 의 원소는 개 이므로, 비둘기집의 원리에 의해 적어도 두 개의 원소는 똑같은 구간에 들어가야 한다. 다시 말해

을 만족하는 이 존재한다. 이제 위의 식을 다시쓰면

이고

로 놓으면,

가 된다. 이므로

를 만족한다. 위 식이 의미하는 바는 무엇일까?

1-2. 위 식의 의미

은 우리가 임의로 설정한 자연수였다. 값이 결정되면, 그에 따른 알맞은 정수 가 존재하여, 무리수 와 유리수 의 차가 항상 보다 작게 된다는 것이다. 즉, 와 의 차는 무한히 작아질 수 있다. 그렇다면 여기서 한 가지 질문을 던져볼 수 있다.

이러한 조건을 만족하는 정수 는 무한히 많이 존재하는가?

만약 무한히 많이 존재한다면, 는 로 수렴하면서

아름다운 조건을 만족하는 무한 유리 수열일 것이다! 놀랍게도, 이러한 유리수열은 존재한다. 이를 비둘기집의 원리로 증명해보자.

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모순을 얻기 위해, 위 조건을 만족하는 쌍이

으로 유한하다 가정하자. 그러면, 가 무리수 이므로, 항상 일 것이다.

을 만족하는 자연수 을 선택하자. Section 1-2에 의해

를 만족하는 새로운 정수 을 얻을 수 있다. 당연히 는 중 하나여야 하는데, 이는

의 조건에 모순이다. 결론적으로,

을 만족하는 무한유리수열 이 존재한다. 따라서 질문에 대한 답은 YES!

2. 중요성?

1-2에서 보인 조건을 만족하는 무한 유리수열 은 일 때 위력을 발휘한다. 를 이용하여 결론을 다시 써보면

이다. 이제 에 함수를 씌우고, 절대부등식 를 이용하면,

임을 알 수 있다. 여기서 중요한 것은

이라는 점이다. 은 자연수의 무한 부분수열이므로

를 만족하는 자연수 은 무수히 많이 존재함을 알 수 있다.

3. 무한급수에의 적용

꼴의 무한급수에 대해 생각해보자.

1. 일 경우, 이므로 발산한다.

2. 일 경우, Section 2에서 보였듯이

를 만족하는 자연수 이 무한히 많이 존재하므로, 급수는 발산한다.

재밌는 것은

은 일 경우 항상 수렴한다는 것이다. 의 괴랄한 불규칙성이 곱해져서, 수렴하는 급수가 발산하는 급수로 변해버렸다 (--)

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4. 마지막

의 값들을 나타낸 그래프로 비둘기집의 원리에 관한 포스팅을 마무리 짓겠다.

MATLAB으로 다음 코드를 입력하면

n = [10^2 10^3 10^4 10^5];

for i =  1 : 1 : 4
    figure;
    x = 1: n(i);
    y = sin(x);
    scatter(x,y);
end

1. n = 100
   

2. n = 1000
   

3. n = 10000
   

4. n = 100000
   

잘 보일지는 모르겠지만... 의 값들은 폐구간 을 조밀 (왜일까요...?) 하게 메꾸고 있음을 알 수 있다. (물론 각 값들은 모두 다르다. 컴퓨터의 근사치에 의해 같은 패턴이 나타나는 것일 뿐 의 정의에 따라 서로 다른 두 자연수 이 을 만족할 수 는 없다.)