集合

集合的概念

• 集合的定义：只具有某种特定性质的事务的总体。
• 元素：指组成这个集合的事物。
• 元素与集合的关系：属于或者不属于。
• 集合分类。
• 若x∈A => x∈B，则A是B的子集，A⊆B
• 集合与集合的关系：包含或相等。
• 数集的关系：N₊⊂N⊂Z⊂Q⊂R
• 空集为任何集合的子集。
• 集合一般有两种表示方法.一 是 列 举法 . 二是描述法.

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区间

• 概念：介于某两个实数之间的全体实数称为区间。两个实数称为区间的端点。
• 开区间：区间不包含两个端点。∀a,b∈R,且a<b,则{x|a<x<b} => (a,b)
• 闭区间：区间包含两个端点。 [a,b]
• 左开右闭区间：包含右端点，不包含左端点。(a,b]
• 左闭右开区间
• 开区间，闭区间，左开右闭，左闭右开均属于有限区间。
• 有限区间两端点的距离称为区间的长度。

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点的邻域

• 设a与δ是两个实数，且δ>0，数集{x||x-a|<δ}称为点a的δ邻域，点a叫做邻域的中心，δ叫做邻域的半径。记做U(a,δ)。
• 点a的去心邻域：邻域不包含点a。U(a,δ)={x|0<|x-a|<δ}
• 点a的右δ邻域：U(a,δ)={x|0≤x-a<δ}
• 点a的左δ邻域：U(a,δ)={x|δ<x-a≤0}
• 点a的去心左δ邻域：U(a,δ)={x|δ<x-a<0}
• 点a的去心右δ邻域：U(a,δ)={x|0<x-a<δ}
• 无穷邻域：U_M(∞)={x||x|>M}(M>0)
• 无穷左邻域：U_M(-∞)={x|x<-M}(M>0)
• 无穷右邻域：U_M(+∞)={x|x>M}(M>0)

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集合的运算
设A,B都是集S的真子集，则

• 并集：A∪ B = {x| x ∈ A或x ∈B};
• 交集：A∩ B = {x| x ∈ A且x ∈B};
• 差集：A \ B = {x |x ∈ A且x∉ B};
• 余集 ：CA=S\A= {x| x ∈S, x∉A, A ⊆ S};
  
  运算性质
• 交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A
• 结合律 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
• 分配率 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
• 幂等率 A∪A=A A∩A=A
• 吸收率 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
• De·Morgan定律 设A⊆S，B⊆S，则C(A∪B)=CA∩CB，C(A∩B)=CA∪CB

推广：设A_i ⊆S，i=1,2...,n,...则

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集族

• 集族：以集合为元素的集合称为集族或集类.
• 幂集：由非空集合 A 的所有子集组成的集是个集族，称为 A 的幂集，记为 P(A) 或 2^A .有 n 个元素的集合 A ，其幂集有 个不同的元素 2n .

序偶
设有非空集合 A,B，若 a∈ A，b∈B，则由a，b组成一个序偶，记为(a，b)，a 称为第一元素，b称为第二元素. 两个序偶 (a₁,b₁ )，(a₂,b₂ )相等，当且仅当a₁=a₂，b₁=b₂.

笛卡尔乘积
所有序偶(a,b)组成的集合，称为A,B的笛卡儿(Descartes)乘积，记为A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}.当 B = A 时，笛卡儿乘积 A× A 简记为 A₂ .
注意，笛卡儿乘积的元素是序偶(a b , ) ，它不是两个元素的集合，且 A×B≠B×A .
若用两个任意两个实数组成的序偶(x, y)表示平面直角坐标系中点坐标，则R×R={(x,y)|x∈R,y∈R}就是坐标平面上所有点的坐标的集合.
类似地，有限个非空集合 A₁,A₂,…A_n 的笛卡儿乘积为A₁×A₂×...×A_n={(a₁,a₂,...a_n)|a_i∈A_i,i=1,2,...,n}.若A₁=A₂=...=A_n,则笛卡尔乘积为Aⁿ.

实数系
推动数系扩展的原因之一是数系的逆运算.自然数集 对加法和乘法运算是封闭的，即两自然数相加或相乘后仍为自然数，而对减法运算是不封闭的，为此将自然数系扩充为整数系 Z，而整数系对除法运算是不封闭的，由此又扩展为有理数系Q，而有理数系对开方运算又是不封闭的，因此产生了无理数，有理数和无理数统称为实数.
在数轴上，自然数系和整数系中的相邻两数都可用间距为单位长的点表示，它们是一系列的离散的点，这种特性称为自然数系和整数系的离散性；一个有理数也可用数轴上的一个点表示，这种点称为有理点，任意两个不同的有理点 r1 与 r2 之间必有另一个有理点，可见，任意两个有理点之间必有无穷多个有理点，这个特性称为有理数系的稠密性； 但有理点并未充满整个数轴，还存在空隙，比如，还有与原点距离为π,e 的这样一些无理点存在.只有有理点和无理点的全体，也即只有实数系的全体实数才能连续地充满整个数轴，这个特性称为实数系的完备性.

数集的上下界，上下确界，确界公理
设 A 为非空数集，若∃M∈R,∀x∈A都有x≤M，则称 A 是有上界的， M 为 A 的一个上界； 若∃m∈R,∀x∈A都有x≥m，则称 A 是有下界的， m 为 A 的一个下界；若∃m,M∈R,∀x∈A都有m≤x≤M或|x|≤M(M>0)，则称 A 是有界的，否则称无界数集。显然，若数集A有上界，其上界是不唯一的 。对下界亦然 。

设A是一个非空数集，若S是A的一个上界，并∀ε > 0，都有x∈ A，使x>S−ε，则称S是A的上确（Suprenum），记作sup A；类似的，若S是A的一个下届，并∀ε>0，都有 x∈ A，使x<S+ε，则称S是A的下确界（infimum）,记为inf A.
这里要注意，A 的上(下)确界不一定属于A.如实数集
是有界集，sup B=1∈B，inf B=0∉B.
若 A 的上(下)确界存在，则必定唯一.

确界公理 任一有上(下)界的 R 的非空子集 A 必有上(下)确界.
实数系的确界公理是实数系的本质属性，是由实数系的完备性所规定的.
确界公理在有理数集中并不成立.如由√2的不足近似值构成的有理数集A={1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…}，它的上确界为无理数√2，它在Q内没有上确界.所以有理数集不是完备的.