[수리물리학 이야기] Chapter 10. 르장드르 다항식과 르장드르 연관 다항식

hunhani(65)

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안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

르장드르 다항식

르장드르 (Legendre) 다항식은 구면좌표계에서 헬름홀츠 방정식을 구하는 과정에서 등장하는 르장드르 방정식의 해가 되는 다항식입니다. 또한, 헬름홀츠 방정식에서 k=0인 경우가 라플라스 방정식에 해당합니다. 따라서 르장드르 다항식은 구 대칭성을 갖고 있는 문제에서 구면좌표계를 도입하여 헬름홀츠 방정식과 라플라스 방정식의 해를 도출해내는데 있어 필수적인 요소라고 할 수 있겠습니다.

위 르장드르 방정식의 해는 르장드르 다항식이며, 르장드르 다항식의 일반해는 아래 로드리게스 (Rodrigues) 공식으로 표현됩니다.

르장드르 다항식의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

르장드르 다항식 다항식을 쉽게 구하는 방법이 있습니다. 바로 아래의 생성 함수를 이용하는 것인데요.

좌변을 테일러 전개한 식과 우변을 비교하여 구하는 것입니다.

르장드르 다항식은 다음의 고유한 특성이 있다.

(1) 순환관계식이 존재한다.

(2)직교성이 갖는다.

x=cosθ로 주어졌으므로 x의 범위는 구간 [-1, 1]에 국한됩니다.

이 구역 내의 임의의 다항식은 르장드르 다항식의 조합으로 표현할 수 있죠.

르장드르 연관 다항식

르장드르 다항식에서부터 파생되어 사용하는 르장드르 연관 (associtated Legendre) 다항식에 대해 알아보겠습니다. 앞서 알아보았던 르장드르 다항식은 르장드르 연관 방정식의 해가 되는 함수입니다. 즉, 르장드르 연관 다항식이 르장드르 다항식을 포괄하는 상위 개념이라고 생각하시면 됩니다. 구 대칭성을 갖고 있는 문제에서 구면좌표계를 도입하여 헬름홀츠 방정식과 라플라스 방정식의 해를 도출해내는데 있어 실질적으로 사용되는 것은 르장드르 연관 다항식입니다.