@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.
가우스 함수는 정수론, 통계학, 해석학, 미분기하학, 측지학, 전자기학, 천문학, 광학 등 수많은 분야에 기여한 독일의 수학자 겸 과학자 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 명명되었습니다. 가우스 함수의 그래프는 좌우대칭의 종 모양의 곡선으로 +와 –의 극한에 향할수록 급격히 감소하는 특성을 가집니다. 매개변수 a는 곡선의 꼭대기 높이가 되고, b는 꼭대기의 중심의 위치가 되며, c는 종의 너비를 결정하죠. 또한, 가우스 함수는 오차 함수의 도함수이자 동시에 정규 분포의 밀도 함수입니다. 따라서 물리학과 통계학에서 다양하게 사용되고 있답니다.
가우스 적분
가우스 함수를 실수 전체 범위에 대해 적분하는 가우스 적분은 확률론, 통계학, 편미분 방정식 등에 사용되는 오차 함수를 구하는 방법입니다. 확률과 통계에서 아주 중요한 표준정규분포의 모델이 될 뿐만 아니라 양자역학에서 자주 등장하는 적분 계산법이죠.
하지만 이 가우스 적분은 일반적인 부분적분 혹은 치환적분 등으로 풀 수가 없습니다. 따라서 가우스 적분을 풀기 위해 실수 전체 범위에 대한 적분을 극좌표로 변환하는 과정을 거칩니다.
가우스 적분을 이렇게 전개하여 중적분 형태로 표현하니 (x,y) 1사분면 전체 면적을 적분하는 것처럼 보이죠? 이제 이를 극좌표 관점에서 재해석해봅시다.
극좌표로 변수변환을 하겠습니다.
이제 손쉽게 적분할 수 있습니다.
가우스 적분을 응용하여 마찬가지 방법으로 다양한 적분 계산을 해낼 수 있습니다. 아래 두 적분은 가우스 적분과 함께 양자역학에서 자주 등장하는 적분으로 아예 결과 값을 외워두고 양자역학 문제를 풀면 계산 과정이 많이 간단해지곤 했답니다.
@hunhani입니다.
