@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.
수소 원자의 퍼텐셜 에너지 V(r)은 다음과 같이 구의 반지름 r에만 관련되므로 구 대칭성을 갖고 있지요.
이제 위 슈뢰딩거 방정식의 전개식을 좀 더 간단하게 나타내기 위해 다음과 같이 치환을 합니다.
이 식의 해를 나타내면 다음과 같은데요.
위 식의 상수 Cnl과 α는 아래와 같이 보어 반지름 a0로 표현됩니다.
상수를 제외하고 남은 L에 대한 식을 라게르 연관 (associated Laguerre) 다항식이라고 합니다. 정리하자면, 수소 원자의 파동함수를 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 구하는 과정에서 구의 반지름 r에 대한 전개식의 해가 바로 라게르 연관 다항식으로 표현되는 것이라고 할 수 있죠.
라게르 연관 다항식을 다루기 전에 먼저 라게르 다항식에 대해 알아보겠습니다. 라게르 다항식은 라게르 연관 방정식의 해가 되는 함수입니다. 즉, 라게르 연관 다항식이 라게르 다항식을 포괄하는 상위 개념이라고 생각하시면 됩니다.
라게르 (Laguerre) 다항식은 아래 라게르 미분 방정식의 해입니다. (단 n은 정수)
위 라게르 미분 방정식에 급수해법을 적용하여 라게르 다항식을 풀어내면 다음과 같습니다.
이 라게르 다항식은 아래의 생성 함수를 이용하여 구할 수도 있죠.
라게르 다항식의 몇 가지 성질을 소개합니다.
라게르 연관 다항식은 라게르 다항식으로부터 다음의 관계식을 통해 표현됩니다.
라게르 연관 다항식 역시 라게르 다항식과 마찬가지로 생성 함수를 이용해 구할 수도 있죠.
뿐만 아니라 로드리게스 (Rodrigues) 공식을 이용하는 방법도 있습니다.
라게르 연관 다항식의 성질을 알아보겠습니다.
수소 원자의 파동함수를 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 구하는 과정에서 구의 반지름 r에 대한 아래 전개식의 해가 바로 위 라게르 연관 다항식으로 표현된다는 것이 핵심입니다.
@hunhani입니다.
