[수리물리학 이야기] Chapter 11. 구면 조화 함수

hunhani(65)
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안녕하세요. 훈하니 hunhani@hunhani입니다.

beoped@beoped 님과 yurizard@yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

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대문을 제작해주신 leesol@leesol 님께 감사드립니다.

구면 조화 함수

구면좌표계에서 헬름홀츠 방정식 및 라플라스 방정식을 구하는 경우는 구 대칭성을 갖고 있는 문제에서 빈번하게 등장한다고 했었죠? 또한 르장드르 다항식은 바로 이 헬름홀츠 방정식을 구하는 과정에서 등장하는 르장드르 방정식의 해가 되는 다항식임을 알아보았습니다. 헬름홀츠 방정식에서 k=0인 경우가 라플라스 방정식에 해당하므로 르장드르 다항식은 구 대칭성을 갖고 있는 문제에 구면좌표계를 도입하여 헬름홀츠 방정식과 라플라스 방정식의 해를 도출해내는데 있어 필수적인 요소라고 할 수 있다는 것도 공부했습니다. 오늘은 이를 바탕으로 실제로 양자역학에서 구 대칭성의 퍼텐셜을 갖는 수소 원자의 파동함수를 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 구하는 과정을 알아보겠습니다.

먼저 슈뢰딩거 방정식을 살펴보겠습니다.

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이 식은 Chapter 8. 물리학에서 자주 접하는 미분 방정식에서 소개했던 슈뢰딩거 방정식의 시간 비의존 형태입니다.

수소 원자의 퍼텐셜 에너지 V(r)은 다음과 같이 구의 반지름 r에만 관련되므로 구 대칭성을 갖고 있지요.

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이제 Chapter 9. 좌표계 별 헬름홀츠 방정식의 일반해에서 알아보았던 전개 방법을 사용합니다.

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일반해는 다음과 같지요.

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그런데 여기서 방위각 ϕ에 대한 대칭성을 갖는 (1) 식과 르장드르 연관 다항식을 해로 갖는 (2) 식은 둘 다 회전각에 대한 식들입니다. 따라서 이 두 식을 조합하여 구면 조화 함수를 구성하면 매우 편리합니다.

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Clm은 상수의 형식으로 표현하자.

상수 Clm은 직교 정규화 조건을 이용하여 구할 수 있습니다.

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이 조건으로부터, 구면 조화 함수 식을 얻게 됩니다.

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이 때 주어진 l에 대하여 다음 부등식이 성립합니다.

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이 구면 조화 함수를 이용하면 양자역학에서 각운동량 연산자 및 사다리 연산자를 적용시킬 수 있고 이는 복잡한 계산을 훨씬 간단하게 만들어줍니다.

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다음 편을 기대해주세요!

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  • 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
  • 본문을 작성하는데 있어 위키피디아 내용을 참조하였습니다.

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