@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.
자연 상수는 대수적 방정식의 해가 될 수 없는 초월수입니다. 동시에 실수이지만 정수 혹은 분수의 형식으로 나타낼 수 없는 무리수입니다. 자연 로그의 밑 역할을 하는 수이기도 하죠. 미적분학을 비롯한 수학 전반에서 자연 상수를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해지는 경우가 많고 자연 법칙을 표현하는 물리 공식에도 역시 자연 상수가 자주 등장합니다. 자연 상수는 다음과 같이 표현됩니다.
오일러 공식
자연 상수로 표현되는 오일러 공식은 아무 관계가 없어 보이는 지수 함수와 삼각 함수를 연결해 주는 역할을 합니다. 증명은 적어봤자 머리만 아프니 생략하고 단순히 공식이 보여주는 결과만을 들여다봅시다. 지수 함수와 삼각 함수를 연결해주는 이 공식이 무엇을 할 수 있을까요? 먼저, 오일러의 공식으로부터 삼각 함수의 덧셈정리, 삼각 함수의 미분 등을 모두 유도할 수 있습니다. 삼각 함수를 다룰 때 오일러의 공식을 알면 매우 유리한 것이죠. 또한, 처음 로그의 성질을 배울 때 아무 생각 없이 이 공식을 외워 사용해도 유용한 점이 많습니다. 그래서 정확한 의미를 몰라도 이 공식을 외워서 문제 풀이에 사용하는 고등학생들도 꽤 있더군요. 앞서 자연 상수가 자연 법칙을 표현하는 물리 공식에도 자주 등장한다고 했는데, 이 오일러 공식도 물론 그렇습니다. 대표적으로, 양자역학의 파동 함수 해를 표현하고 변환하는데 이 오일러 공식이 사용되지요.
테일러급수
만약 x에 대한 함수가 다음과 같이 주어졌다면 f(0) = a0 가 되지요. 그렇다면 f’(0) 와 다른 계수는 어떠한 관계가 있을까요? 미분해 보면 쉽게 알 수 있는데요.
따라서 다음 식들이 성립합니다.
이처럼 n번 미분한 함수를 구할 수 있다면, 어떠한 함수라도 (심지어 다항식으로 표현되지 않는 초월 함수라고 할지라도) 다항식을 포함한 x에 대한 무한급수로 나타낼 수 있습니다. 이러한 표현 방식을 테일러급수라고 하죠.
테일러급수는 수렴하는 급수가 의미가 있습니다. 수렴하지 않으면 굳이 다항식의 무한급수로로 표현하는 것이 의미가 없기 때문이죠. 위는 지수 함수와 삼각 함수를 비롯한 초월 함수의 테일러급수 전개 결과입니다. 급수 옆에 수렴 구간을 적어두었습니다.
오일러 공식의 증명
오일러의 공식은 다양한 방법으로 증명할 수 있지만 지수 함수와 삼각 함수의 테일러급수를 이용하여 아래와 같이 손쉽게 증명할 수 있습니다.
@hunhani입니다.
