@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.
크로네커 델타는 두 아래첨자가 같으면 , 다르면 이 되는 함수입니다. 선형대수학에서 기저를 표현하기 위해 탄생했지만 크로네커 델타를 사용하면 증명과 계산이 매우 편리해지는 경우가 많아 널리 애용되고 있습니다. 예를 들어 전자공학에서 신호 처리 및 제어를 하는데 있어 디지털 시스템을 해석할 때 크로네커 델타가 아주 유용하게 쓰인답니다.
푸리에 급수
주기를 가진 모든 파동은 sine과 cosine들의 합으로 나타낼 수 있는데요. 푸리에 급수를 통해서 그것이 가능하다는 것을 확인해보겠습니다.
반각 공식을 이용하면 다음 식이 성립하는 것을 알 수 있습니다. n은 아닌 정수를 의미합니다.
위의 적분 값은 밑변이 2π(적분구간의 길이이면서 동시에 삼각함수의 주기의 정수배)이고 높이가 1(sine, cosine의 최댓값)인 직사각형의 넓이의 반과 같다는 것에 주목해야 합니다.
본격적으로 푸리에 급수의 기본이 되는 적분을 설명하겠습니다.
정수 m, n에 대하여 다음 세 식이 성립합니다.
위 식들은 삼각함수의 곱을 합･차로 고치는 공식을 이용해서 증명할 수 있죠.
내적해서 이 되는 두 벡터를 직교한다고 표현하는데 곱을 정적분한 결과가 이 되는 두 함수 역시 직교한다고 표현할 수 있습니다. 이 두 가지를 수식을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다.
함수 f(x)가 주기가 2π인 함수일 때 이 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있는데요.
위와 같이 어떤 주기함수 f(x)를 sin(nx) 및 cos(nx) 들의 합으로 나타낸 것을 푸리에 급수, 푸리에 급수로 나타내는 과정을 푸리에 전개라고 합니다. 또한 an, bn 등을 푸리에 계수, 푸리에 계수를 구하는 과정을 푸리에 해석이라고 하지요.
이 용어들을 다시 정리하면 ‘푸리에 급수를 구하라.’는 말과 ‘푸리에 전개하라.’는 말은 같은 뜻이고 ‘푸리에 계수를 구하라.’는 말과 ‘푸리에 해석하라.’는 말도 같은 뜻입니다.
푸리에 해석은 미분방정식, 특히 편미분방정식의 해법에 매우 중요한 기법입니다. 전자공학에서 주파수 영역에서의 신호를 관찰할 때 특정 신호에서 푸리에 해석을 사용합니다. 뿐만 아니라 유체역학에서 유명한 나비에-스톡스 방정식을 푸리에 해석을 통해 풀이하고 양자역학에서 자유입자를 기술할 때 푸리에 급수가 쓰이기도 하죠. 고체물리학에서 주기성을 갖는 격자들을 분석할 때 마찬가지로 푸리에 해석이 사용됩니다. 이처럼 다양한 수학, 물리, 공학 분야에서 푸리에 기법이 사용됩니다.
@hunhani입니다.
