ধাঁধা উত্তর

আজকের ধাঁধা বইয়ের দাম নিয়ে। তবে এর আগে আসুন গণিতের দুটি সহজ সমস্যার সমাধান কীভাবে করতে পারি। ধরুন আপনাকে প্রশ্ন করা হলো (১/৩ + ১/৩ + ১/৩) = ? এর উত্তর দুভাবে বের করা যায়। যেমন সাধারণ ভগ্নাংশের যোগের নিয়মে যোগফল = (১ + ১ + ১) /৩ = ৩/৩ = ১। আবার যদি আলাদাভাবে যোগ করি তাহলে যোগফল = ০.৩৩৩৩৩ ... + ০.৩৩৩৩৩ ... + ০.৩৩৩৩৩ ... = ০.৯৯৯৯৯ ... । প্রশ্ন হলো দু রকম উত্তর কেন? আমরা অবশ্য ব্যাখ্যা দিতে পারি এই বলে যে ০.৯৯৯৯৯ ... (অসীম পর্যন্ত) = ১ (আসন্ন মান)। অর্থাৎ গণিতের ভাষায় ০.৯৯৯৯৯ ... অসীম পর্যন্ত সংখ্যাটিকে কার্যত ১ ধরা যায়। এটা ঠিক। কিন্তু এটা যে ঠিক, তা অন্যভাবেও প্রমাণ করা যায়। যেমন মনে করি ক = ০.৯৯৯৯৯ ...। সুতরাং, (১ + ক) = ১.৯৯৯৯৯ ... । এবার এই মান থেকে প্রথম মান বিয়োগ করলে আমরা পাব, ১ = ০.৯৯৯৯৯ ...।
গণিতের আরেকটি সহজ হিসাব দেখুন। তিনটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কি ২০ হতে পারে? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমে দেখব, যেকোনা দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল একটি জোড় সংখ্যা। এর সঙ্গে যদি আরেকটি বিজোড় সংখ্যা যোগ করি তাহলে নিশ্চয়ই একটি বিজোড় সংখ্যা পাব। অথচ ২০ একটি জোড় সংখ্যা। সুতরাং বলা যায়, তিন, পাঁচ, সাত বা যেকোনো সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কখনো জোড় সংখ্যা হতে পারে না।

ধাঁধা
কোন তিনটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল ৬৭৮?
উত্তর
২, ৩ ও ১১৩
প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। তবে ১১৩ যে মৌলিক সংখ্যা সেটা ব্যাখ্যা করলে আরও ভালো হতো। সবাইকে ধন্যবাদ।
কীভাবে উত্তর বের করলাম
৬৭৮ যেহেতু জোড় সংখ্যা, তাই এটা ২ দিয়ে বিভাজ্য। ৬৭৮ / ২ = ৩৩৯। যেহেতু ৩৩৯ এর অঙ্ক তিনটির যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য, তাই পুরো সংখ্যাটিও ৩ দিয়ে বিভাজ্য। ৩৩৯ / ৩ = ১১৩। সুতরাং ৬৭৮ = ২৩১১৩। এদের মধ্যে ২ ও ৩ মৌলিক সংখ্যা, তা সহজেই বোঝা যায়। কিন্তু ১১৩ কি মৌলিক সংখ্যা? যদি না হয়, তাহলে দেখতে হবে সংখ্যাটি কোন কোন মৌলিক সংখ্যার গুণফল।
আমরা পরীক্ষা করব ১১৩ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫, ৭, ১১... প্রভৃতি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য কি না। এর চেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার দরকার নেই, কারণ আমরা জানি ১১-এর বর্গ ১২১, যা ১১৩-এর চেয়ে ৮ বেশি। কোনো মৌলিক সংখ্যা অপর কোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গের চেয়ে বড় হতে পারে না। সুতরাং আমাদের দেখতে হবে ১১৩ সংখ্যাটি ২, ৩, ৫ বা ৭ দিয়ে বিভাজ্য কি না। বিভাজ্যতা পরীক্ষার সূত্র অনুযায়ী আমরা বলতে পারি, যেহেতু সংখ্যাটি জোড় নয়, তাই ২ দিয়ে বিভাজ্য নয়। যেহেতু এর অঙ্কগুলোর যোগফল ৫, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য নয়, তাই সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য নয়। যেহেতু সংখ্যাটির শেষে ০ অথবা ৫ নেই, তাই সেটা ৫ দিয়েও বিভাজ্য নয়।
এখন দেখি ৭ দিয়ে বিভাজ্য কি না। ৭ দিয়ে বিভাজ্যতা পরীক্ষার একটি সূত্র আছে। কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্কটিকে দ্বিগুণ করে সংখ্যাটির অবশিষ্ট অংশ থেকে বিয়োগ করে প্রাপ্ত ফল যদি ৭ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য হবে। ১১৩-এর ক্ষেত্রে আমরা দেখছি (১১ - ৩X২) = (১১ - ৬) = ৫, যা ৭ দিয়ে বিভাজ্য নয়। সুতরাং ১১৩ সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য নয়।
তাই আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে ১১৩ একটি মৌলিক সংখ্যা।
সুতরাং নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যা তিনটি ২, ৩ ও ১১৩। ২X৩X১১৩ = ৬৭৮।

আব্দুল কাইয়ুম : সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা