전 글에서 최대한의 이득을 취하기 위한 복권 회사의 전략에 대해 간단히 얘기했었는데요, 아직 1등은 안나왔고, 잭팟 금액은 더 커지고, 사람들의 관심 또한 더 커져서 이번에는 이 복권의 기대값에 대해 써보려 합니다.
사실 실제 이 글을 작성하기 전 아이디어는,
기대값이라는 것은 확률 x 보상인데,
1/100 확률로 $100 보상과
1/100,000,000 확률로 $100,000,000 (1억달러) 보상을 얻는 것이
서로 같은 기대값이긴 해도 실제 게임 참가자에게 느껴지는 바는 다를 것이라는 얘기를 하고 싶었어요.
그래서 일단 메가밀리언의 당첨 확률을 찾아봤는데,
게임 구조는 흰색 공 1-70, 그리고 메가공 1-25 이렇게 2가지 종류의 숫자를 맞추는 것이라 간단한(?) 확률 지식으로도 계산 가능할거라 생각했거든요.
그런데 가장 간단한, 말단 확률인 메가공 1개만 맞추는 확률이 1/25가 아니라 1/36.63이라는 거에요!
뭐지... @@
그러다가 이 블로그 사이트 http://www.durangobill.com/MegaMillionsOdds.html 를 차근차근 읽어보게 됩니다.
Durango Bill 이라는 사람이 누군지는 정확히 몰라도, 본인을 응용수학자로 소개하고 있네요.
일단 위에 말단 상금 $2짜리 확률이 1/25가 아니라 1/36.63인 이유는
1/25 x (흰 공이 하나도 안 맞을 확률) 이렇게 2가지가 곱해져야 하거든요.
흰 공이 하나라도 맞으면 다른 더 많은 상금을 타게 되니까요.
(그래서 계산이 생각보다 간단하진 않습니다)
이 사람 블로그에 계산 방법은 자세히 서술되어 있으니 전 그 부분은 넘어가고요,
잭팟을 제외한 기대값을 한 번 살펴보겠습니다.
| White Ball | Mega ball | Probability | Prize | Expectation |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 0 | 7.932E-08 | $1,000,000 | $0.08 |
| 4 | 1 | 0.000001074 | $10,000 | $0.01 |
| 4 | 0 | 0.00002578 | $500 | $0.01 |
| 3 | 1 | 0.00006874 | $200 | $0.01 |
| 3 | 0 | 0.00165 | $10 | $0.02 |
| 2 | 1 | 0.001444 | $10 | $0.01 |
| 1 | 1 | 0.01119 | $4 | $0.04 |
| 0 | 1 | 0.0273 | $2 | $0.05 |
| Total | 0.0416757 | $0.25 |
이거 한 장 사는데 $2이거든요. 그런데 잭팟 제외하면 기대값 $0.25 ㅋㅋ
그런데 여기에 잭팟 금액 1억 6천만 달러를 고려하면,
0.000000003305 x $1,600,000,000 = $5.288 !!!
단숨에 기대값은 $2를 훨씬 뛰어 넘는데요... 그런데 이게 실제 의미가 있을까요? 저 낮은 확률, 극복할 수 있을까요?
혹자는 말합니다. 그래도 누군가는 된다고요.
최근 Business Insider 라는 잡지에 이런 글이 실렸습니다.
No one has won the Mega Millions jackpot, and it's ballooned to $1.6 billion — but if you do the math, that's not surprising at all
"메가밀리언의 1등 당첨자가 안나온 게 놀라운 일은 아니다"라는 기사인데요,
쉽게 말해 1등이 나오려면 1/302,575,350 의 확률을 뚫어야 하는데,
저번 금요일 추첨할 때 (수욜부터 금욜까지) 팔린 메가밀리언은 모두 280,217,678장이 팔렸다고 하네요.
그러면, 만약 280,217,678장의 티켓이 모두 다른 숫자 조합이라면 당첨자가 안 나올 확률은 불과 7.39%에 지나지 않습니다만, 실제는 그게 아니랍니다. 각각의 티켓은 모두 (통계적 의미로) 독립시행이라 가정하면 충분히 같은 조합도 있을 것이기 때문에, 정확한 계산은 이런 식이라고 합니다.
(302,575,349/302,575,350)^280,217,678
이걸 계산하면 약 39.6%라고 하네요.
이걸 또 Durango씨는 더 자세하게 분석했습니다.
저번 회차에 팔린 티켓이 대략 280 Millions 니까요, 이번에 조금 더 팔려 400 Milions를 찍으면 이제 여러 당첨자가 나올 확률이 혼자 당첨될 확률보다 높아지겠네요.
그런데 제가 알기로 이 메가밀리언이 지난 24회동안 당첨자가 없어서 이렇게 금액이 불어난 걸로 아는데요, 24번 연속으로 당첨자가 없을 확률은 어떻게 될지 궁금해지네요 ^^
마지막으로 Durango 씨의 후기를 번역하며 마무리합니다.
2nd Thoughts
The 2015 fatality rate per 100 million Vehicle Miles Traveled in the U.S. was 1.12. https://crashstats.nhtsa.dot.gov/Api/Public/ViewPublication/812318 . If you drive one mile to the store to buy your Mega Millions ticket and then return home, you have driven two miles. Thus the probability that you will join this statistical group is 2 x 1.12 / 100,000,000 = 0.0000000224 fatalities per vehicle mile. This can also be stated as “One chance in 44,642,857”. Thus, if you drive one mile to (and return from) the store to buy your Mega Million ticket, your chance of being killed (or killing someone else) is nearly 7 times greater than the chance that you will win the Mega Millions Jackpot.
Alternately, if you “played” Russian Roulette 100 times per day, every day for 83 years, with Mega Millions Jackpot odds, you would have better than a 99% chance of surviving.
2015년에 미국에서 자동차가 1억마일 달릴 때 치사율이 1.12입니다. 만약 당신이 왕복 2마일인 편의점에 메가밀리언을 사러 간다고 하면, 죽을 확률은 2 x 1.12 / 100,000,000 = 0.0000000224 입니다. 이건 대략 "1/44,642,857"하고 같은데요, 결국 당신이 1마일 떨어진 편의점에 왕복하다 죽을 확률이 메가 밀리언 잭팟에 당첨될 확률보다 7배 더 높습니다.
(전 출퇴근길이 왕복 45마일인데... 매일 0.0000504%의 죽을 고비를 넘기고 있군요 ^^ )
다른 식으로 표현하자면 당신이 83년 동안 매일 100번의 "러시안 룰렛"을 해도 메가밀리언 잭팟 확률이라면 당신은 99%의 확률로 여전히 살 수 있습니다.
3rd Thoughts
A lottery is a “Zero-sum game”. What one group of participants gains in cash, the other group of participants must lose. If we made a list of all the participants in a lottery, it might include:
- Federal Government (Lottery winnings are taxable)
- State Governments (Again lottery winnings are taxable)
- State Governments (Direct share of lottery ticket sales)
- Merchants that sell tickets (Paid by the lottery organizers)
- Lottery companies (Hint: They are not doing all this for free)
- Advertisers and promoters (Paid by the lottery companies)
- Lottery ticket buyers (Buy lottery tickets and receive payouts)
The winners in the above list are:
- Federal Government
- State Government (Taxes)
- State Government (Direct share)
- Merchants that sell tickets
- Lottery companies
- Advertisers and promoters
And the losers are:
(Mathematically challenged and proud of it)
복권은 기본적으로 "제로섬 Zero-Sum" 입니다. 누군가의 돈을 모아 다른 누군가가 가져가는 거죠.복권 사업에 관련된 개인/기관을 열거하자면 다음과 같습니다.
연방정부, 주 정부, 상인, 복권회사, 광고회사, 그리고 개인 구매자.
이들 중 이득을 보는 사람들은 다음과 같습니다.
연방정부, 주 정부, 상인, 복권회사, 광고회사
루저는... 흑흑..