안녕하세요!!
저번 선형대수학 포스팅에서 선형결합을 통해 각각의 벡터들의 합으로 이루어진 선형방정식을 나타냄을 보았습니다.
오늘은 그 꼴인 행렬방정식을 알아보려고 합니다.
행렬 방정식
Ax=b에서 A는 행렬이고 x는 변수 b는 이 A와 변수 x의 결합한 결과가 b입니다.
그래서 다음과 같이 표현합니다.
이때 만약 이 방정식의 해가 있다면 다음과 같은 조건을 만족합니다.
Matrix A의 선형결합의 결과는 b다.
이에 따라 A가 m×n 행렬일때 b는 Rm 공간안에 존재하게 됩니다.
즉, m=3일 경우는 3차원 공간에 존재하게 됩니다.
마찬가지로 m×n 행렬의 각각의 column은 Rm 공간에 존재합니다. 따라서 Rm의 subspace(부분공간)가 됩니다.
그리고 모든 row는 pivot position을 가집니다.
해를 가지기 위해서는 모든 row가 pivot position을 가져야하며 다시 말해 free variable이 없어야 합니다.
특성
계산할 때 교환법칙과 분배법칙이 성립합니다.
이제 Ax=b의 특수 case인 b=0인 경우를 보겠습니다.
Ax=0이라고 쓰며 이를 homogeneous equation이라고 합니다.
이를 만족하는 solution중에는 적어도 0이라는 하나의 해를 포함하는데
x=0이라는 하나의 solution만 가지면 이를 trivial solution을 가진다고 말합니다.
0이 아닌 해를 가진다면 nontrivial solution을 가진다고 합니다.
앞서 설명한 Ax=b꼴이 solution을 가지기 위해서는 A matrix는 free variable을 가지면 안 된다고 했습니다.
하지만, Ax=0인 경우 x가 0이 아닌 해를 가지기 위해서는 x의 값에 상관없이 0이라는 결과값을 가져오는 free variable이 존재해야 합니다.
그래서 nontrivial solution을 가지기 위해서는 적어도 하나 이상의 free variable이 존재해야 합니다.
Nonhomogeneous system
아까 소개한 homogeneous와 nonhomogeneous의 차이는 particular solution이 있나 없나로 구분이 됩니다.
앞서 소개한 homogeneous equation는 Ax=0이고
Nonhomogeneous equation은 Ax=b입니다.
이를 구분 짓는 부분은 b가 되겠군요.
이 b가 particular solution이고 다시 말해 Nonhomogeneous equation은 homogeneous equation과 particular solution이 같을 때 만족함을 알 수 있습니다.
물리학에서 이 homogeneous에 관한 개념은 외력의 존재 여부로 설명합니다.
Homogeneous sysyem인 경우는 외력이 없는 상태를 말하고 particular solution이 존재하게 된다면 외력이 존재함을 말합니다.
즉, Nonhomogeneous system은 외력이 작용하는 상태를 말하며 우리가 다루는 대부분의 계산에서는 이 Nonhomogeneous system이 될 것입니다.
오늘은 여기까지 하고 다음 시간에는 linear independence에 대해 다루겠습니다. 휴.. 저도 물리학을 하지만, 물리적 개념만 좋아했지… 수학은 원래 싫어했고… 어려워했던지라… 포스팅을 하면서도 잘 안되네요. 준비를 좀 열심히 해서 오겠습니다.. 여기서 포스팅을 마칩니다. 감사합니다!!