想必大家都见过水果摊上师傅摆水果吧？但如何摆法能堆得最多呢？
从数学上这其实是一个同样大小的物体的最高堆积密度的问题。
显然立方体的最高堆积密度是100%。其它形状呢？
对于球而言，这其实是17世纪提出的非常著名的Kepler猜想，又是1900年德国数学家David Hilbert提出的23个未解决的数学问题中的第十八个问题中的第三条。这个猜想认为等直径球的最高堆积密度是74.05%(=圆周率/√18)，此时球之间的排列应该符合面心立方结构或者六角密堆结构（见下图）。1831年Carl Friedrich Gauss证明了这种结构形式的堆积密度是圆周率/√18。此后数学家一直试图证明Kepler猜想的可靠性。1998年Thomas Hales给出了长达250页的计算机辅助证明，经历12人长达4年的审稿于2005年发表在Annals of Mathematics上，但根据维基百科的信息公认可靠性的证明2017年才发表（见wikipedia的Kepler conjecture）。
图片来自（https://en.wikipedia.org/wiki/Close-packing_of_equal_spheres）
正四面体呢？
古希腊哲学家亚里士多德(前384-前322年)认为整体免提的堆积密度是100%，即能填满整个空间，后来被证明是错，目前发现的最高堆积密度是4000/4671=0.856347 (Chen E R, Engel M, Glotzer S C. Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra[J]. Discrete & Computational Geometry, 2010, 44(2): 253-280.)
图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron_packing）
其它多面体呢？
正八面体：=18/19=0.947368421, 正十二面体=(5 + √5)/8 = 0.904508497； 正二十面体=0.836357445。Betke还给出了各种截头多面体的最高堆积密度解析公式。Torquato也给出了这些形状最高堆积密度计算机模拟结果与解析公式的比较（Betke U, Henk M. Densest lattice packings of 3-polytopes. Computational Geometry, 2000, 16(3): 157-186. Torquato S, Jiao Y. Organizing principles for dense packings of nonspherical hard particles: Not all shapes are created equal. Physical Review E, 2012, 86(1): 011102.）
椭球呢？
Donev给出了一个回转椭球堆积密度与椭球长径比的关系图。从这图看出来没，球的堆积密度最低。但我还不知道解析解公式长啥样。
图片来自Donev A, Stillinger F H, Chaikin P M, et al. Unusually dense crystal packings of ellipsoids. Physical review letters, 2004, 92(25): 255506.
球柱呢？
Chainkin2006年给出了最高堆积密度与球柱长径比w=l/d的关系式=[(圆周率/√27)+(l/d)*(圆周率/√12 )]/[(√2/√3)+l/d] 当l/d趋近于0 最大堆积密度=0.74.048%，当l/d趋近于无穷大时，最大堆积密度约为0.9069 （Chaikin P M, Donev A, Man W, et al. Some observations on the random packing of hard ellipsoids[J]. Industrial & engineering chemistry research, 2006, 45(21): 6960-6965.）
超球、超椭球以及其它形状的最高堆积密度又如何呢？
很多问题都还没有解答，1972年有一个Ulam猜想，它认为球体是所有跟球接近的中心对称的凸体中堆积密度最低的（Ulam's packing conjecture https://en.wikipedia.org/wiki/Ulam%27s_packing_conjecture）。对三维物体如何证明其可靠性有待解答。
至于同样形状两种尺寸的最高堆积密度是多少？
图片来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing#cite_note-doi10.1021/jp206115p-16
2010年左右大家的认知是如下图
横坐标是两种尺寸颗粒的体积比，图例是两种尺寸球的直径之比（图片来源：Kyrylyuk A V, Wouterse A, Philipse A P. Percolation and jamming in random heterogeneous materials with competing length scales[M]//Trends in Colloid and Interface Science XXIII. Springer, Berlin, Heidelberg, 2010: 29-33）
2012年的认知进步到如下两张图的情况（图片来源Hopkins A B, Stillinger F H, Torquato S. Densest binary sphere packings. Physical Review E, 2012, 85(2): 021130.）
纵坐标是最高堆积密度，alpha=小球半径/大球半径, x=小球数量/(小球数量+打球数量）
2014年的认识是如下这张图（图片来自de Laat D, de Oliveira Filho F M, Vallentin F. Upper bounds for packings of spheres of several radii[C]//Forum of Mathematics, Sigma. Cambridge University Press, 2014, 2.）发现没，对3维堆积双尺寸球堆积而言(n=3),比上面的三维图的最高堆积密度又高了一些。
横坐标是小球半径/大球半径，纵坐标是堆积密度，n表示n维空间。
同样形状两种尺寸的最高堆积密度解析解公式还有待大家的探索，至于两种以上尺寸的最高堆积密度估计只有试验结果了。
