원시인이 포커를 한다면? 마이크 카로의 AKQ게임 (하)

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게임이론적인 정답을 살펴보기 전, 먼저 기대값을 어떻게 구해야 하는지 알아야 합니다.

기대값은 다음과 같이 구할 수 있습니다. (이길 확률 x 이겼을때 보상) - (질 확률 x 졌을때 손실)

이 공식대로 볼 때, 원시인 1의 기대값은 다음과 같이 계산 될 수 있겠군요.
기대값 = (이길 확률 x $2) - (질 확률 - $1)

질 확률은 100 - 이길확률이니 공식을 간략화 할 수 있습니다.
= (이길 확률 x $2) - [(100-이길 확률) - $1]

우리는 이 기대값을 이용해 indifference point(이하 무차별점)을 구해야 합니다. 이 무차별점이라고 하는것은, 게임이론에서 내쉬균형이라고 부르는, 서로 상대방을 최대한으로 공격하려고 노력했을때 결과적으로 이루어질 서로에게 최선인 지점입니다.

우선 원시인 1 입장에서 봅시다.
원시인 1은 Q을 가지고 팟(이미 서로 낸 참가비로 이루어진 $2) 의 50%만큼인 1$을 배팅할 수 있습니다. 그렇다면 우리가 블러핑을 몇번 중 한번 성공한다고 했을 때 손익분기점이 될까요?

원시인 1이 블러핑을 성공한다 -> 이득 : 이미 쌓여있던 팟인 $2를 먹는다
원시인 1이 블러핑을 실패한다 -> 손해 : 추가로 배팅한 $1을 잃는다

이 구조에서 우리는 3번중 한번만 블러프에 성공하면, 손익분기점을 넘깁니다. 이 손익분기점이 바로 우리가 포커에서 부르는 내쉬균형, 무차별점입니다.

원시인 2는 어떨까요?
원시인 2는 콜을 하는 입장입니다. 여기서 배팅을 하는 입장과 중대한 차이점이 한가지 생깁니다. 원시인 2는 이겼을 때 원시인 1이 블러핑한 $1 까지 먹습니다. 그렇기 때문에 베팅을 한 플레이어와 콜을 한 플레이어의 무차별점에서의 행동은 서로 다르게 구성됩니다.

원시인 2가 블러프를 잡아내고 승리한다 -> $3 이득 (이미 존재하던 팟 $2 + 블러핑 $1)
원시인 2가 콜을 했는데 A가 나오고 진다 -> $1 손해

즉, 원시인 2는 1과 다르게 네번중 한번만 상대방의 블러프를 잡아내는데에 성공하면 무차별점에 도달하게 됩니다.

이제 서로의 무차별점이 어떻게 형성되어있는지 알았습니다. 그렇다면, 무차별점이 왜 필요한걸까요?

우리는 이 무차별점을 기반으로 배팅의 구성을 어떻게 할 지 결정을 할 수 있기 때문입니다.

원시인 2는 네번 중 한번만 상대방의 블러프를 잡아 내면 이득입니다.

이를 이용해서 원시인 1이 배팅을 할 때, A를 3번 배팅할동안 Q를 한번씩 섞어준다면 재밌는 일이 일어납니다.
원시인 2가 무슨 짓을 하던, 수익을 낼 수 없는 상황이 생기죠

원시인 2가 모든 핸드를 콜 한다고 해봅시다.
우리는 상대가 a로 배팅하는 3번을 지고, Q를 1번 이길겁니다.
A한테 져서 생기는 손해 = -100 x 3 = -300
Q한테 이겨서 생기는 이득 = 300
따라서 이기던 지던 손익 = 0

모든 핸드를 폴드한다면 어떨까요?
이길때도 질때도 없으니 손익 = 0

이렇게 아무리 원시인 2가 게임을 이기고 싶어도, 절대 이길 수 없습니다.

당연히 이런 상황은 원시인 1의 입장에서도 그대로 적용됩니다.

원시인 1은 3번중 한번만 블러프에 성공하면 이득입니다. 따라서 원시인 2는 아까와 같은 원리로 3번중 2번만 콜하면, 원시인 1은 무슨 짓을 해도 수익을 낼 수 없는 상황이 됩니다.

따라서 양쪽의 선택지는 이렇게 설정될 것입니다.

원시인1
A = 베팅
K = 체크
Q = 33% 빈도로 베팅

원시인 2
A = 콜
K = 33% 빈도로 콜
Q = 폴드

반대로, 둘 중 누구라도 이 무차별점에서 벗어난다면 공략당할 수 있습니다. 원시인 1이 블러프를 무차별점 보다 더 많이 친다면 원시인 2는 100% 콜함으로서 수익을 낼 수 있고, 블러프를 무차별점보다 적게 한다면 100% 폴드함으로서 수익을 낼 수 있습니다.

이처럼 무차별점을 아는것은 상대방이 무차별점에서 벗어나는 실수를 하고 있는지 알 수 있기 때문에 중요합니다. 하다못해 가위바위보를 하더라도 우리는 가위를 다른 것보다 더 많이 내는 사람을 만나 볼 수 있으니까요.

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이 AKQ게임 모델에서 우리가 배워야 할것은 세가지입니다.

1. 배팅은 아주 좋은 핸드와, 아주 안좋은 핸드로 해야한다. 중간정도의 강함을 가진 핸드로는 벳을 하는 상황이 생겨서는 안된다.
2. 무차별점을 아는것은 상대방이 무차별점을 벗어나는지 알 수 있기 때문에 매우 중요하다.
3. 무차별점대로 플레이 함으로서 상대가 나를 공략하는 것을 방어해야한다.

실제 포커에서는 이런 무차별점을 찾는것이 이 간략화된 AKQ게임보다 훨씬 힘듭니다. 중앙에 깔리는 커뮤니티 카드에 따라서 항상 무차별점이 달라지기 때문이지요. 그래서 더욱 중요합니다. 해당 상황에 무차별점이 어떤 것인지 배우는 공부만 반복한다고 하더라도 상대보다 훨씬 앞선 지점에서 시작할 수 있기 때문입니다. 그래서 제가 연재하는 복기 컨텐츠는 해당 핸드의 무차별점이 어디었는지 알아보는것에 초점을 맞추고 있는 것이기도 합니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다 :)