[수학, 책] 리만가설

으악. @gogumacat 님의 요청에 따라 아직도 풀리지 않은 백만달러 문제, "리만가설" 에 대해서 이야기 해 볼까 합니다. [저도 정수론을 매우 어렵고 중요한 과목이라고 생각하는 사람 중 하나입니다. 대부분의 수학과 혹은 이공계에서 정수론은 학부1-2학년 기초과목으로 한학기 정도 다루거나 공대 같은 경우는 주로 이산수학 시간에 다루죠, 합동식, 중국인의 나머지 정리, 페르마 소정리 등을 배우고 정규 과목에서 사라집니다.... 운이 좋으면 3-4학년 혹은 대학원 때 대수적 정수론 같은 수업이 열리기도 하지요. 오히려 초중고 수학 경시대회에 오히려 정수론이 많이 나오는 편이라 어린 학생들이 정수론을 쉽게 생각하는 경우가 많더군요, 대표적인 문제 하나를 들어 볼까요? 714^2017 승의 끝자리 두 자리는? ㅋㅋㅋ 요즘같은 시대에는 정수의 특성이 아닌 그냥 컴퓨터나 계산기로 답을 구해 버리죠. .. 정수론은 실생활에 가장 많이 쓰이는 수학 중에 하나이지만 저에게는 한없이 머나먼 학문이 되었죠.. 언젠간 analytic number theory 를 공부해 보고 싶습니다 ㅎㅎ]

리만가설에 얽힌 유명한 일화로 영화 "뷰티플 마인드" 주인공 존 내시 선생님이 리만가설에 도전하였다가 정신병을 얻게 되었다는....

리만가설은 " 제타함수의 non-trivial 한 모든 zero의 실수부는 1/2 이다 "

라는 내용 한문장 짜리 내용이지만, 여기에는 엄청난 내용과 수학적 지식들이 함축되어 있습니다. 일단 이 가설은 리만의 1859년 '주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse)'라는 논문에서 나온 것으로

혹시 독일어가 가능한 분은 이 글을 읽어보시길

Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse

ㅋㅋ 리만의 원 논문을 전자화(?) 한 것으로 10장 밖에 되지 않고, 1859년도 논문임에도 불구하고 기호나 쓰이는 함수들이 최근의 것과 크게 다르지 않다는 것을 알 수 있습니다. 물론 영어판도 있습니다.

On the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity

여기서 말하는 academy 는 베를린 학술원을 말합니다. 당시는 이런 학술원에 회원으로 가입할 때 관례로 논문 한편을기고하는 거였다네요 요즘은 카드만 있으면 누구나 ㅎㅎ

논문에서는 직접적으로 저런 non-trivial zero 에 대한 증명 이야기가 나오지 않습니다. 하지만 해당 논문의 4페이지[영판] 을 보면 어떤 접근으로 어떤 의미로 이런 말이 나왔는지 유추 할 수 있습니다.

ㅠㅠ 왜 불필요하다고 느꼇을까, 이 가설이 리만 본인에게는 너무나 자명했던 것일까요?

딱히 보면 해석학과 관련된 문제로 보이지만 사실 실상을 들여다보면 정수론, 특히 소수들과 관련이 있죠. 왜 정수론과 관련이 있나면 바로 Euler's Golden key 라고 불리는 공식 때문인데요,

식1.png

[Re(s) >1 부분에서 이 값은 수렴합니다, 이게 중요합니다]
한 번 이 식을 증명해 보죠. 증명과정은 간단합니다. 오일러의 원 논문의 방식을 따라가 봅시다.

먼저 제타함수의 정의와 거기에 소수 2^s 를 곱해 봅시다.

식2.png

위 두 식을 빼주면 분모가 2의 배수와 관련된 항들이 모두 사라진다는 것을 알 수 있습니다. 즉 이런 식으로 말이죠

그러면 우변은 일단 3,5,7,9 등 홀수를 분모로 하는 항들로 전개가 된다는 것을 알 수 있습니다. 여기서 우변을 1로 만들기 위해 비슷한 방법을 계속 진행해 나갑니다. 즉 1/3^s 를 곱해준다음에 뺴주는 것이죠. 이러면 분모가 3의 배수인것들은 모두 사라지게 되죠. 자 그러면 우변에서는 짝수와 3의 배수가 모두 사라지게 되죠.

이번엔 분모에 5^s 가 보이죠, 비슷한 방법으로 5^s 를 없애고 그 다음 7^s 를 없애고..

즉 우변을 1로 만들어 주기 위해서는 분모의 소수들을 모두 없애주어야 되고 즉

를 얻습니다. 이 식의 다른 의미로써 소수의 개수가 무한하다는 것을 알려줍니다.

여기까지 리만제타함수가 소수의 곱들과 관련이 있다는 것을 설명했습니다. 이제 가설로 돌아가서 "non-trivial zero" 에 대해서 생각해보죠. 여기서 말하는 zero 란

를 만족하는 s 를 말합니다. 자 이제 trivial 과 non-trivial 의 차이점을 설명해 봅시다. 일반적으로 Ax=0 의 방정식 x 를 풀때, x=0 인 솔루션을 trivial 이라 하고 그렇지 않은 솔루션을 non-trivial 이라고 합니다. 즉 x=0 인 것은 그 자체로 Ax=0 을 만족하기 때문에 trivial 솔루션이라고 하는 건데요. zeta 함수의 non-trivial zero 를 알아보려면 먼저 trivial zero 가 뭔지를 알아야 합니다. 이를 위해서는 안타깝지만 zeta 함수의 reflection 성질에 대해서 알아야 하는데요

이 식의 유도과정은 복소 해석의 적분을 필요로 합니다. 관심이 있으신 분께서는 노트의 6-10 page 참조" 하시면 될 겁니다. 지면이 너무 길어지고 설명해야 될게 너무 많아 참고문헌으로 대체합니다. 아 ㅋㅋ 또 하나의 아름다운 identity 인

도 필요하군요. 이 공식유도도 위 노트에 나와있습니다. ㅎㅎ 이 감마함수의 성질을 유도하는데는 크게 3가지 방법이 있는데요.. 흠 위 zeta 함수의 성질과 gamma 함수의 성질을 나중에 기회가 되면 math, computation, 항목에 정리해 보도록 하겠습니다.

본론으로 들어와서 음의 짝수의 경우는 trivial 한 zero가 됩니다.

그냥 위 식에 s=-2k 를 대입해 보면 나오죠.

자 이제 이 trivial zero 가 아닌 non-trivial zero (s 가 복소수 일수도 있으니까요) 의 s 값의 실수부분이 1/2 보다 크다는 것이 리만가설입니다.

여기서 잠깐! s=-2 인 경우를 한번 살펴 볼까요?

먼가 이상하지 않나요? ㅎㅎ Re(s)>1 인 값에서만 제타 함수는 수렴하고 1/n^s 형식으로 쓰인다는 것을 생각하면 단순히 zeta 함수를 1/n^s 의 summation 으로 보는게 아닌 위처럼 recursion relation 으로 보는게 더 직관적인 방법이라는 것을 알 수 있습니다.

길게도 왔군요, 이 가설의 거의 근접한 부분까지 현재 증명 되어 있습니다.
대표적인 예로써 무한히 많은 non-trivial zero 의 real 이 1/2 이다 라는 것이 하디에 의해 증명 되었죠. 또한 부분적으로 많은 것들이 증명되었으나[부수적으로 이 문제를 풀기 위해 수학자들이 analytic number theory 나 algebraic geometry 의 발전에 많은 tool 을 개발한 것으로 알고 있습니다] 아직까지 완벽하게 증명되지는 않았죠. 제가 이 쪽 분야와 거의 멀기 때문에 지금 어떤 연구들을 하고 있는지에 대해서는 잘 알지 못합니다. 그래서 비교적 최근에 09년 11월 15일에 NHK 에서 방영한NHK.Special.091115.The.Cosmic.Code.Breakers 해당 유투브 영상을 소개합니다. [ㅠㅠ일본어로 되어 있어요 크게 일본어를 몰라도 우리나라의 수학 용어들이 대부분 일본어에서 차용해왔기에 이해하는데는 지장이 없을것으로 봐요 ]

[リーマン予想・天才たちの１５０年の闘い]

한 참을 검색한 끝에 해당 다큐멘터리의 시드가 제대로 있는 마그넷을 찾았습니다 [대부분은 09,10 년도 파일이라 시드가 없어요, 일본어 사이트에도 없더군요. 어떤 특정 사이트에서 최근에 올라온 글에서 시드가 있는 파일을 찾았습니다! ^.]
magnet:?xt=urn:btih:6C8556E30B2B1AA87CF9CAD1DBAA39902FB6541C