오늘은 소수에 대해서 이야기 해볼까 한다.
그냥 소수 하면 종류가 너무 많아서 특정한 한 종류
쌍둥이 소수에 대해서 짧게 다루어 보려고 한다.
일전에 간단히 소수와 관련된 퀴즈를 낸적이 있다. [관련글 퀴즈 14 풀이 - 자연수의 아름다움 // 합성수와 소수 참조 ]
오늘은 쌍둥이 소수에 대해서 다루어 보려고 한다.
먼저 소수(?) 에 관해 썼던 나의 예전 글들의 보충(?)을 해보자.
[수학] 골드바흐의 추측 //Feat 영화 페르마의 밀실
저 글에서도 밝혔듯이 개인적으로 내가 어렸을 때 처음 수학을 접한 것은 다름이 아닌 골드바흐 의 추측이었고 수학을 처음 접었던 것도 골드바흐의 추측 때문이었다. [ 이미 저 포스팅에서 Yitang Zhang 을 이미 언급했었고, 쌍둥이 소수에 대해서 다루어 보고 싶다고 했었군.. 그동안 관심사가 다른 곳에 갔다가 최근에 암호에 꼳히면서 다시 소수에 꼳혔다. ]
예전에 소개했던 리만가설도 [관련 포스팅 [수학, 책] 리만가설 참조 ] 소수의 분포와 관련이 있는 이론이다. 리만가설의 특별한 경우(하디-리틀우드는 리만가설의 일부분을 해결했다.)를 해결한 하디-리틀우드 정리는 소수와 관련된 여러 정리들 중에서 매우 강력한 도구 중 하나이다. (Hardy Littlewood 1922!!) [관련 글 [수학자, 책] 하디 // 어느 수학자의 변명// 나이와 학문 참조 ]
한 때 나의 관심사는 제타 함수와 Genearlized zeta function 에 있었는데, 그 때 공부했던 내용을 바탕으로 몇가지 특수함수들에 대한 계산 글들을 올린 적이 있었다. . [제타, 베타, 감마, 등등등 이제는 단순히 블로그를 내려서 썻던 포스팅을 찾기가 힘들다.. [수학, 계산] 감마함수의 전개 1-기본편 등등..] 이러한 특수 함수들을 적절히 조합 하거나 새롭게 정의하여 modular properties 를 찾거나 보이는 것도 굉장히 흥미로운 분야 중 하나이다. (S, T transformation)
또 대략 8개월전 소개했던 테렌스 타오의 콜로퀴움 역시 Erdos 문제를 다루었고 이 역시 소수와 밀접한 관련이 있다. [관련 글 [홍보(?)-수학자 소개(?)] 수학 콜로퀴움 by Terence Tao in 고등과학원, June 28, 2017 ]
관련된 타오의 강연 영상은 다음 링크에서 확인 가능하다. UCLA 에서 했던 강연. [취미생활 중 하나]
아 보충 설명 한다고 딴 이야기로 너무 많이 샜다.
본 문제로 가보자
쌍둥이 소수 가설이란
(p,p+2) 형태의 소수쌍이 무한히 많다는 가설이다.
여느 정수론 문제들처럼 이런 문제들은 매우 쉬어 보이지만
문제 자체는 쉬어 보여도 증명하기가 쉽지 않다.
그나마 교과서에서 우리는 소수가 무한히 많다는 것을 쉽게(?) 보였다. (소수의 곱 +1 은 그 소수들로 나누어 떨어지지 않는다. Question how about forms like products of primes +3?)
하지만 특정 꼴의 소수가 무한히 많다는 것은 생각했던 것 만큼 쉽지는 않다. (물론 여기서 말하는 특정한 꼴은, 교과서의 예제로 종종 등장하는 There are infinitely many prime numbers form p=4k+3 이나 6k+5 이런 형태들을 말하는 것이 아니다. 얘네들은 쉽다. 이것의 일반화로 ak+b 의 형태는 특별한 조건을 만족하는 경우[(a,b)=1-서로소, 이를 디레클렛 소수라 한다] 해당되는 소수가 무한히 많은데 이를 elementary method 로 보이기는 쉽지 않다. - 복소 테크닉을 이용하면 좀 쉽다; 아무튼 여기서 말하고 싶었던 특정꼴은 n^2+1 이런 형태의 소수가 무한히 많다 등의 가설들을 말한다. )
쌍둥이 소수를 좀 더 알아보기 위해 한번 1부터 100까지의 숫자들 중에 소수를 세어보자
이 수들 중 쌍둥이 소수로는
(3,5), (5,7), (11,13) 등이 있겠다. 이러한 소수의 꼴은 얼마나 많을까?
아래는 2백만까지의 소수 중 쌍둥이 소수의 비율을 정리한 표이다.
흠 한도끝도 없이 계속 이렇게 달려서 찾아야 하는가?
아니다. [하.. 이를 위해서는 여러가지 algebraic number theory 의 tool 들이 필요하다... ]
Sieve theory 를 이용하여 중국인 수학자 Chen 은 Chen's theorem 을 만들었고(?), 이런 theorem 들은 소위 analytic number theory 의 꽃이라고 불릴만한 정리들이다.
임의의 충분히 큰 짝수는 두 소수의 합이나 한 소수와 한 반소수(semiprime, 두 소수의 곱)의 합으로 쓸 수 있다. [cf. psudo prime 은 합성수이면서 FLT(페르마의 소정리)를 만족하는 수]
이 때 부터 사람들은 임의의 큰 수에 대해서 생각하기 시작했고, 그 뒤 소수 사이의 간격에 대해서 생각하기 시작했다.
이 소수 사이의 간격에 대해서 큰 일을 해낸 사람이 수학자 이탕 장(Yitang Zhang)이다. [이탕장 관련 기사 [세계수학자 대회]늦으막에 꽃 핀 '이탕 장'..'지금도 꿈이 많아요' -그는 2014년 Seoul ICM 에 참가했었다. 참고로 이 때 필즈상을 받은 사람이 바로 마리암 미르자카니, -관련 글 [수학자] 이란의 여성 수학자, 필즈 메달리스트 미르자카니 ]
Yitang Zhang은 다음과 같은 내용을 주장했다.
[관련 유투브, Bounded gaps between primes - Yitang Zhang [2014 Stony Brook Mathematics Colloquium] 영상 中]
2014년도에는 246까지 좁혀졌다.
기본적으로 이러한 증명에는 Sieve theory 가 쓰였다. [나도 내 전공이 아니라 -.-; 언제 쯤 마음껏 이런 것들을 읽을 수 있을지 ㅋㅋㅋ]
이러한 간극이 2가 되면 쌍둥이 소수가 풀리는 건데..
아직 갈길이 멀다.
그나저나 Yitang Zhang 이사람도 참 대단하다
phd 받고(1991-오 36에 phd 받은거네) 나서 자리가 없어 모텔이나 서브웨이 가게 알바를 하면서 지냈고 (8년 동안 ㄷㄷ)
친구의 도움으로 1999년 UNH에 시간 강사 자리를 구했고 그 뒤 (2001년) 논문 출간후 12년 만에 논문을 쓴게 바로 저 논문.. 저 논문으로 스타가 되서 지금은 산타바바라에 교수로 재직중이다.
진짜 이 사람이야 말로 수학을 정말 사랑하는듯...
뭇 사람들의 존경받을 만 하다.