정 12면체의 달력이 하나 있다. 12개의 오각형의 각 면에는 다른 달이 적혀 있다. 그 면 위에 있는 달을 정렬하는 완전히 다른 방법은 모두 몇가지인가?
여러가지 풀이가 있겠다. 가장 아름다운 풀이는 대칭성을 이용한 풀이이다. 정 12면체는 5개의 대칭성을 가진다. 하나를 정하는 경우의 수는 12 이니까 즉 12x5=60 개가 한 묶음으로 묶인다. 따라서 답은 12!/60 = 11!/5 가 된다.
이 대칭성을 이용한 풀이는 정12면체가 어떻게 변환하는지에 대한 사전 지식이 필요하다. 중학교 때 정다면체를 배우긴 하지만 이러한 정다면체가 어떤 식의 변환을 가지고 있는지는 치환군이라는 개념을 알아야 한다. [꼭지점은 어떻게 움직이고 면은 또 어떻게 움직이며 변은 또 어떻게 움직이는지에 대해 알아야 한다.]
사실 이 문제는 고등학교 참고서에 나올법한 문제라 선생님들이 위의 대칭성을 이용해 풀어주면 학생들은 좋아할지도 모르겠다. 정다면체와 치환군의 개념을 안다면 저 풀이는 사실 정다면체에도 적용할 수 있어 뽐내기를 좋아하는 친구들이라면 이런 풀이를 좋아할 수 도 있겠다.
그러나 이러한 사전 지식 없이도 직접 세는 습관을 들여야 한다.
자 한번 세어보자. 한면을 먼저 골라 1이라고 쓰자. 그러면 그 한면을 고름으로써 5각형이 하나 골라진 것이고 그 주변에 5개에 남은 11개의 월 중에 5개를 넣어야 한다. 그리고 이들은 원형을 이루니까 해당 경우의 수는 11C5 x (5-1)! 이 된다.
맨 위의 면과 그 주변 5개의 면을 골랐으니 이제 그 다음 면을 생각해보자. 이 두번째 면들은 항상 앞에서 고른 5개의 면과 2개는 만나게 된다.
이는 정 12면체의 전개도를 보면 더 잘 알 수 있다.
남은 달은 6개 즉 6C5 그리고 이들을 배열하는 방법은 5! 그리고 나머지 월은 하나가 남기에 자연스럽게 1 이 된다.
즉
