퀴즈 441 30억의 분배
30억의 유산을 A,B ,C(나이 순서는 A>B>C) 가 8년전 나이 비례로 재산을 나누어 갖는다면 B 는 10억을 받는다.
그러나 현재 이 3명이 재산을 나누어 가진다면 A 는 14억을 가진다.
이 때 B 와 C 는 8년전과 지금 각각 얼마를 받게 됬었을까?
풀이
자 8년 전의 A,B,C 의 나이를 a,b,c 라 하자. 크기는 a>b>c 라 하자 그러면
B 가 10억을 물려가졌다는 말은 b/(a+b+c) 가 1/3 이라는 말을 의미하고 이는 2b=a+c 를 의미한다.
8년 후의 A,B,C 의 나이를 a',b',c' 이라 하자. 당연히 크기는 a'>b'>c' 이 될 것이다. 나이가 증가했다고 하더라도 2b'=a'+c' 관계식은 유지된다. [a'=a+8, b'=b+8, c'=c+8 을 대입해도 성립한다.] 즉 B 는 8년 전이나 후나 똑같이 전체의 1/3을 물려 받는 다는 것이다. 즉 이 경우에도 B 는 10억을 물려받는다.
현재 A 는 14억을 물려받고 B 는 10억을 물려받으니 C 는 당연히 6억을 물려 받았을 것이다.
과거는 어떨까? 한가지 사실은 B 의 나이는 8년전이나 지금이나 시간이 지나도 상관없이 항상 같은 시점에서 B 의 나이의 2배는 A 의 나이와 C 의 나이의 합이라는 점이다. 즉 B 는 항상 10억을 가지게 되고 A 와 C 는 남은 20억을 나누어 가지게 된다.
A 와 C 의 관계는 어떻게 될까? a+c 는 시간이 지나도 (a'+c') 이 되도 항상 B 의 나이의 2배가 된다. 하지만 A 와 C 의 나이비는 일정하지 않다. 즉 A와 C 의 현재의 나이비를 알아도 8년전의 나이비를 유추할 수 없으니 8년전에 A 와 C 가 얼마를 가졌는지를 정확히 알 수 없다.
퀴즈 442 1^{99} + 2^{99} + 3^{99} + 4^{99} + 5^{99}
1^{99} + 2^{99} + 3^{99} + 4^{99} + 5^{99}
이 수는 5로 나누어 떨어질까?
풀이
사실 아주 간단하다. 고등학교 때 배운 인수분해 공식을 생각하면 된다.
여기에서 한번 다음을 생각해보자
하나 확실한 것은 n 이 홀수 일 때 저 합은 5의 배수라는 것이다. [이것이 퀴즈 풀이에서 보인 것이다.] 사실 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n 이 5로 나누어 떨어질 필요충분 조건은 n 이 4의 배수가 아닐 때라는 것을 쉽게 보일 수 있다.
사실 더 일반화해서 임의의 음이 아닌 정수 n 과 k 에 대해서 (k+1)^n + (k+2)^n + (k+3)^n + (k+4)^n + (k+5)^n 이 5로 나누어 떨어질 필요충분 조건은 n 이 4의 배수가 아닐 때란 것을 보일 수 있다.
이는 합동식 혹은 나머지 정리를 이용하면 아주 쉽게 보일 수 있다. 무슨 말이냐 (k+1)^n 을 5로 나눈 나머지는 1^n 을 5 로 나눈 나머지 즉 항상 나머지가 1 과 같다. 즉 (k+1)^n + (k+2)^n + (k+3)^n + (k+4)^n + (k+5)^n 를 5로 나눈 나머지는 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n 를 5로 나눈 나머지와 같다. 더 나아가 나머지의 입장에서 5는 나머지가 0 3은 나머지가 -2, 4는 나머지가 -1 과 같다. 즉 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n 의 나머지는 1 + 2^n + (-1)^n + (-2)^n 를 5로 나눈 나머지와 같다. 여기서 n 이 홀수이면 5로 나눈 나머지는 없게되고 [즉 5의 배수] n이 2의 배수이면 n=2m 이라 하고 1 + 4^m + 1+4^m 이는 2(1+(-1)^m) 과 나머지가 같게 나온다. 즉 m 이 홀수이면 나머지가 0 짝수이면 나머지가 0이 아니게 된다. 즉 4의 배수이면 5로 나누어 떨어지지 않는다.
이로부터 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n 는 n 이 4의 배수가 아닐 때 5로 나누어 떨어지게 되고, 이는 (k+1)^n + (k+2)^n + (k+3)^n + (k+4)^n + (k+5)^n 는 n이 4의 배수가 아닐 때 5로 나누어 떨어진 다는 것을 의미한다.