빨간색, 초록색, 파란색 공이 2개씩 총 6개의 공이 있다. 2개의 공 중 하나는 15g 이고 다른 하나는 16g 이다.
양팔저울을 두번 사용해서 16g 공 3개를 찾아내라
빨간색 공 R1,R2 의 무게를 r1, r2 라 하고
하얀색 공 W1,W2 의 무게를 w1,w2 라 하고
파란색 공 B1,B2 의 무게를 b1,b2 라 하자.
공은 총 6개가 있으며 이 중 15g, 16g 은 각각 3개가 있다. 하나 확실한 것은 같은 색깔을 두개 고르면 둘 중 하나는 15,16 이라는 것이다.
자 빨간색 공 2개를 골랐고, 나머지는 하얀색 공, 파란색 공 하나씩을 골랐다고 해보자. 자 일단 r1, r2, w1,b1 을 골랐다고 하고 이를 저울에 올려놓도록 하자. 확실한 것은 r1 과 r2 둘 중 하나는 16g 일 것이다. 그러니까 둘을 따로 두기로 하고
r1+w1 과 r2+b1 을 비교해보기로 하자.
총 3가지 경우가 나올 것이다.
만약 r1+w1=r2+b1 이라면 r2>r1 이고 w1>b1 이거나 아니면 r1>r2, b1>w1 이 된다. 두번째 측정 때에 (r1,r2) 를 재거나 (w1,b1) 을 재면 모든 경우가 결정된다.
예를 들어 r2>r1 이 나왔거나, w1>b1 이 나왔다면 (r1=15, r2=16, b1=15, w1=16) 반대의 경우에는 (r1=16, r2=15, b1=16, w1=15) 가 결정되고 b2,w2 는 자연스럽게 결정된다.
r1+w1>r2+b1 인 경우. 즉 이 경우는 r1-r2 +w1-b1>0 이 된다. 0보다 더 커야 하니까 확실한 것은 적어도 r1>r2 라는 것이 정해진다. 또 w1은 b1보다 같거나 크다는 조건이 나온다.
두번째 저울을 할 때에는 어떻게 해야 될까? 일단 r1이 16 인 것을 아니까 무거운 것을 이용하면 좋을 것 같다. 또 일단 w1은 b1 과 같거나 크다는 조건이 있으니까 w2 를 사용해보자. [w2 가 15라면 w1 은 16이고 당연히 b1 도 16이 될 것이다. w2 가 16 이라면 w1 은 15이고 b1 은 15 혹은 16이 될 수 있다.]
r1+b1 과 b2+w2 를 비교해보자.
만약 r1+b1>b2+w2 라면 r1+b1-b2-w2>0 이고 적어도 b1>b2 라는 조건이 나온다. [w2 가 15라면 r1-w2=1 하지만 b1-b2 가 -1 인 경우 등호를 만족하게 되서 성립하지 않는다. 즉 b1-b2=1 일 수 밖에 없다. w2가 16인 경우 b1-b2>0 이니까 b1=16 이 되고 b2=15 가 된다.] 그러면 b1 는 16이 된다. w1은 b1 보다 크거나 같으니까 가능한 경우는 w1=16, w2=15 가 된다. 즉 모든 경우가 결정된다.
r1+b1=b2+w2 라면, r1+b1-b2-w2=0 이다. b1-b2 는 1 혹은 -1 이 나올것이다. b1-b2 가 1인 경우 b1=16, b2=15 가 나오고 w2=17 이 나온다. 이는 불가능하니 모순, 즉 b1-b2 는 -1 일 수밖에 없다. 이 경우 b1=15, b2=16 을 의미한다. 이러면 w2=15 w1 은 16이 나온다. 이 경우 w1이 b1 보다 크거나 같다는 조건을 만족하니 모순도 생기지 않는다.
r1+b1 < b2+w2 인 경우 b2-b1 + w2-r1 >0 이 된다. b2-b1 이 1 인 경우 (b2=16, b1=15) w2 는 16 이 된다. w1 은 15가 되고 이는 w1 이 b1 보다 크거나 같다는 조건을 만족한다. b2-b1 이 -1 이 되는 경우 b2=15, b1=16 이 되고 w2는 17보다 커야되 모순이 생긴다.
즉 모든 경우가 결정되었다.
case 3은 case 2와 완전히 대칭적이다.
이 문제는 경우의 수 문제였고, 하나씩 꼼꼼하게 따져보는 문제였다.
불이 꺼진 어두운 방의 옷장에는 빨간색 양말 100개, 초록색 양말 80개 파란색 양말 60개 검은색 양말 40개가 들어 있다.
짝이 맞는 양말이 적어도 10쌍이 되려면 최소한 몇 개의 양말을 꺼내야 하는가?
[양말은 좌우 구분이 없다.]
hint : 비슷한 유형의 문제를 출제한 적이 있다.
양말은 좌우 구분이 없기 때문에, 같은 색 양말을 짝수개만 뽑으면 짝을 다 맞출 수 있다.
즉 4가지 색에서 좌우가 맞지 않은 최대의 양말 개수는 4개다. [각 색깔별로 홀수개가 나왔을 경우]
자 양말이 적어도 10쌍이 되려면 20개가 있어야 한다. 그렇기에 최소 23개의 양말을 뽑으면 10쌍이 된다.
22개의 경우 18개의 양말은 짝이 맞아 9개가 된다. 23개의 경우 19개의 양말이 남고, 짝이 하나 남는데, 그 남는 짝은 짝이 맞지 않는 4개 중에 하나와 만나기 때문에 총 10쌍이 성립한다.
