이런 ㅋㅋㅋ
또다시 지난번 사태가 일어난 것 같다.
그 때는 램지 이론과 그래프 이론으로 골머리를 썩히게 했는데..
이번엔 확률 문제로 골머리를 썩히게 한듯...
그냥 특정 개수를 주고 문제를 풀면 너무 쉬운거 아닌가 해서 일반화를 해보았는데
생각보다 어려웠을지도 모르겠다.
제출 버튼을 클릭하고 나서야 먼가 사태의 심각성(?)을 깨달았고 [오랜만에 어려운 문제도 한번 냈군...]
부랴부랴 답을 작성하고 있다.
퀴즈 26 붉은 구슬
주머니에 몇 개의 붉은 구슬과 푸른 구슬이 들어있다. 각각의 수는 0 또는 양수개이다.
주머니에서 임의로 구슬 한 개를 꺼낸 결과 붉은 구슬이었다. 구슬을 한 개 더 꺼낸다면 두번째 구슬 역시 붉은 구슬일 확률은 얼마인가?
혹시 해볼만하다고 느끼신다면
[quiz 26] 붉은 구슬에 댓글을 달아주시면 된다.
풀이
어떻게 이 문제를 푸는게 합리적일까
이 문제의 문제는 (?ㅋㅋ) 주머니에 들어있는 붉은 구슬과 푸른 구슬 각각의 구슬의 갯수를 정확히 알지 못한다는 거다. 최소의 정보로 붉은 구슬 한개를 꺼냈으니 붉은 구슬은 한개 이상이 있다는 것 외에는 나머지는 미지수로 표현된다는 거
하지만 신기하게 이 미지수들의 모든 경우를 합하면 나온 답은 미지수에 의존하지 않는 상수값이 나온다는게 이 문제의 신비로움(?) 이다.
이번주는 모델링에 꼳혀서
모델링 관련된 글을 두개나 썼는데-사실 지난주부터 조금씩 끄적거린 거였고 완성을 이번주에 한거긴 하다
이 문제도 모델링을 통해 해결할 수 있다.
가정
주머니에 들어가 있는 구슬의 총 개수를 N 이라 하고 그 중 붉은 구슬의 개수를 k 라 하자
[이렇게 하면 자동적으로 푸른 구슬의 개수는 N-k 가 된다]
이 붉은 구슬 k 의 갯수는 최소 1 부터 최대 N 까지 가능할 것이다. [처음에 붉은구슬이 나왔으니 무조건 1개 이상은 있어야 한다]
그리고 주머니속에 붉은 구슬 k 개가 들어있는 경우를 S_k 라 하자
왜 이런 S_k 를 생각하는가 하면
모든 경우의 수를 고려하고 싶기 때문이다.
즉 S_1, 부터 S_N 까지의 모든 경우의 수 중에 첫번째에 붉은구슬이 나오고 두번째에 또 붉은구슬이 나올 확률을 구한뒤 더해주면 모든 경우의 수를 고려한 확률이 된다.
자 이러한 과정 속에서 다음과 같은 고교 수학이 필요하다.
자 이제 문제를 풀어 보도록 하자.
모든 경우의 수를 나열하기 위해
주머니의 갯수를 N 개로 생각해보자. (왜냐 주머니의 경우의 수가 N 개라서)
각각의 주머니는 S_1 부터 S_N 까지 대응시키자
그리고 전체에서 첫번째 꺼냈을 때 빨간색 구슬이 나오는 확률을 생각해보자.
이 N 개의 주머니 모두를 고려하였을 때 빨간색 구슬이 하나 나올 확률은
[빨간색 구슬이 1+2+..+N 개 있고 그 중에 한개 뽑는 경우]
자 이게 S_1 에서 뽑힐 확률은 [S_1 은 빨간색이 한개인 거니] 저 값이랑 같을 것이고
S_k 에서 뽑힐 확률은 [S_k 는 빨간색 구슬이 k 개이니] k 를 곱해진 값을 가질 것이다.
S_k 에서 뽑히고 나면 그 자루에는 붉은구슬이 k-1 개 전체 구슬은 N-1 개가 남을 것이다.
자 이제는 모든 주머니의 경우를 고려하면 된다.
흠 때로는 일반화가 답을 쉽게 줄 때가 있는데 이 경우가 거기에 해당된다.