퀴즈 259 동전의 갯수

반지름 4cm 의 원에 반지름 1cm 인 동전을 넣으려고 한다.

몇개까지 넣을 수 있겠는가?

풀이

11개!!!

외각을 삥 두르고나면 가운데에 2개 까지 집어 넣을 수 있다.

그림판으로 이 경우를 그려보았다.

퀴즈 260 눈금없는 자

눈금이 완전히 없어진 4개의 자가 있다. 각각, a,b,c,d 길이만큼 잴 수 있다고 하자.

이들을 이어 붙이는 것을 허락한다고 했을 때 잴 수 있는 가능한 길이를 1cm 부터 a+b+c+d cm 라고 할 때 이 a,b,c,d 를 가장 크게 하는 a,b,c,d 값은?

a b c d 크기 순서로 a<=b<=c<=d 라 하자.

hint : 이 문제는 용어만 바꾸었지 예전에 출제 된 적이 있는 문제이다.

풀이

이어 붙이는 것만을 허용하기에 이 문제는 2진법 문제랑 똑같다. [이어 붙이는 것은 한번 붙이면 끝이기에 해당 숫자를 측정할 때, 두 자를 한 번씩 밖에 사용하지 못한다.]

2진법에서 2자리 수 ab 는 2*a + b 로 쓸 수 있고, 3자리 수 abc 는 2^2 x a + 2^1 x b + c 형태로 쓸 수 있다. 즉 n 자리 수는 2^{n-1} a_{n} + ..... + 2 a_2 + a_1, [여기서 모든 계수는 해당 진법인 2보다 작아야 한다. ]

자

1, 2, 4, 8 을 잡으면

1 = 1

2 = 2

3 = 1+2

4 = 4

5 = 1+4

6 = 2+4

7 = 1+2+4

8 = 8

9= 1+8

10 = 2+8

11 = 1+2+ 8

12 = 4+8

13 = 1+4+ 8

14 = 2+4+ 8

15 = 1+2+4+8

로 1 부터 15=a+b+c+d 까지 모든 수를 측정 할 수 있다.

이어 붙이는 것 이외에 두 자의 차이를 고려하면 어떻게 될까?

그것이 다음 퀴즈이다.

퀴즈 261 눈금없는 자-2

지난번과 같이 눈금이 완전히 없어진 4개의 자가 있다. 각각, a,b,c,d 길이만큼 잴 수 있다고 하자.

이번엔 자를 이어 붙이지 않고, 자를 겹쳐서 눈금과 눈금의 차도 읽을 수 있다고 하자

이를 이용하여 잴 수 있는 가능한 길이를 1cm 부터 a+b+c+d cm 라고 할 때 이 값을 가장 크게 하는 a,b,c,d 값은?

a b c d 크기 순서로 a<=b<=c<=d 라 하자.

풀이

이 문제는 260번과 유사하게 이 문제는 3진법 문제로 전환 할 수 있다.

즉 1, 3, 9, 27 를 이용하면 (차이를 포함) 1부터 40까지 모든 숫자를 읽어낼 수 있다.

40 = 1+3+9+27