퀴즈 248 체크판의 루크
체크판(8x8) 에 루크 8개를 놓기로 하자. 이 때 서로의 가는 길을 피하는 방법은 총 몇가지가 있겠는가?
루크는 장기의 차 처럼 상하좌우 일직선으로 움직일 수 있다. [편의상 이 루크 8개를 구별하지 말도록 하자. ]
c.f) 참고로 루크가 서로 구별이 된다면 어떻게 되겠는가? 즉 루크 8개에 8개의 다른 색깔이 칠해져 있다고 생각하면 된다. 이것이 생각하기 어렵다면, 체크판을 2x2 혹은 3x3 을 두고 루크를 2개 혹은 3개로 가정하고 생각해보자.
이 문제는 다음과 같이 해석 할 수 있다.
8개의 물건을 일직선으로 배열하는 방법!
왜 그런지 이유를 알겠는가?
루크의 경우 상화좌우에 놓을 수 없다.
그림을 그리는게 설명하기 쉽지만, 귀찮아서(?) 편의상 좌표계를 도입해 보자.
(1,8), (2, 8) (3,8), (4,8), (5,8), (6,8), (7,8), (8,8)
(1,7), (2, 7) (3,7), (4,7), (5,7), (6,7), (7,7), (8,7)
(1,6), (2, 6) (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (7,6), (8,6)
(1,5)...
(1,4)....
(1,3)...
(1,2), (2, 2) (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2), (8,2)
(1,1), (2,1) (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (7,1), (8,1)
문제의 조건에 맞추어 루크를 배열하여련 가로, 세로마다 하나씩 들어 갈 수 있는다.
예를 들어 (3,7) 에 루크가 하나 있으면, (3, x) 와 (7,y) 의 좌표에는 루크를 집어 넣을 수가 없다.
즉 하나의 루크를 놓는 순간 8x8 에서, 7x7 로 체크판이 바뀌어 버린다!
그렇기에 이 문제는 8개의 물건을 일직선으로 배열하는 방법으로 바뀌어 버린다.
즉 8! 개의 경우의 수가 존재한다.
퀴즈 249 한 개의 주사위와 두 개의 주사위/Feat 파스칼
파스칼은 도박사 드 메르와의 교류를 통해 확률론을 개발했다.
다음은 드 메레의 게임이다.
드 메르는 사교 모임에서 다음과 같은 게임을 즐겨 했다.
만원을 걸고 한 개의 주사위를 4번 던져 6이 한번이라도 나오면 도박사가 돈을 따는 게임
이 게임을 통해 드 메르는 꽤 많은 돈을 벌었다. [1. 이 때의 이길 확률은 어떻게 구할까? ]
드 메르의 게임은 드메르가 많이 이기자 인기가 금방 식었다.
그래서 드 메르는 다음과 같은 게임을 개발했다.
이번엔 두 개의 주사위를 24번 던져 두 주사위의 눈이 6이 나올 문제로 바꾸었다.
하지만 새로 바뀐 게임에서는 드 메르는 돈을 잃기 시작했다. [2. 왜? 이 때의 확률은 얼마나 될까?]
이에 드 메르는 친구 파스칼에게 도움을 청했다. 그는 파스칼에게 최소 몇번 경기를 해야 돈을 딸 수 있는지 물어보았다. 3. 파스칼은 그에게 뭐라고 답했을까?
이 문제는 지난번 생일문제 처럼 여사건을 이용하여 풀면된다!
52프로 [ 6이 한번도 나오지 않을 확률은 (5/6)^4 =0.4822 즉 48프로이다]
여사건을 계산 (35/36)^{24} 를 해보면 (0.5085) 대략 51프로 즉 원하는 답은 49프로
25번! 이는 (35/36)^{25} = 0.4944 에서 나온다!. 한번만 더 하면 이길 확률이 조금 더 높다.