¿Listos?... Empecemos.
1° DEMOSTRACIÓN:
Si x es un número real, entonces 
Hipótesis: 
Tesis: 
Demostración: Por propiedades del valor absoluto tenemos que 
Es sabido que la operación valor absoluto da siempre como resultado un valor estrictamente positivo, esto es:
Por lo tanto, cualquier número elevado al cuadrado (sin importar su signo) es siempre mayor o igual a cero.
2° DEMOSTRACIÓN:
Si x < y, b ∈ ℝ y m > 0 entonces mx+b < my+b
Hipótesis:
Tesis: 
Demostración: Tomando en cuenta la propiedad multiplicativa de las desigualdades, recordemos que al multiplicar un número mayor o igual a cero (positivo ó 0) la desigualdad se mantiene, mientras que si se multiplica por un número menor que cero (negativo) la desigualdad cambia. Considerando que el valor “m” es positivo, tenemos:
Posteriormente, se debe tomar en cuenta otra propiedad de las desigualdades para obtener el resultado que se busca; la propiedad aditiva establece lo siguiente: Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta un número real, se obtiene otra desigualdad que mantiene el sentido de la primera, es decir:
Sean x e y ∈ ℝ , se conserva la desigualdad al sumar c = un número real, en ambos miembros de la inecuación (x+c < y+c).
Por estas razones es posible afirmar: 
3° DEMOSTRACIÓN:
Si a < 0, b < 0 y a < b, entonces 
Hipótesis:
Tesis:
Demostración: Tenemos que a,b son números negativos y a < b
Aplicando la propiedad multiplicativa: Sabemos que si multiplicamos por “a” en ambos lados de la relación de orden, como “a” es negativo, la relación de orden cambia:
Análogamente, si multiplicamos la relación de orden a < b por b, como “b” es negativo la desigualdad cambia:
Finalmente, por la propiedad de transitividad de relaciones de orden obtenemos:
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¡Gracias por leer mi post! Espero haya sido de su agrado.
PD: Le agradezco indicarme en un comentario cualquier error que encuentre en el contenido de este post, asimismo, estaré atenta a sus sugerencias :)