오늘은 키스 문제를 소개해 보려고 한다.
[@sintai 님의 사진포스팅 [사진] Kiss... 를 보니 갑자기 이 문제가 생각났다.; 이러니 ㅋㅋㅋ 부모님과 동생, 친구들 등이 나에게 항상 집돌이냐고 뭐라 하는듯... ]
일단 키스 문제가 무엇일까?
이거?
ㅋㅋㅋㅋㅋ 이거라면 [수학] 이란 말을 안 썼겠지... ㅋㅋ;
뭐 비슷하다. 일단 키스 문제를 정확히 이야기 하려면 먼저 키스 숫자를 정의해야 되겠다.
키스 숫자란, 단위 구에(반지름이 1인 구) 서로 겹치지 않는 다른 단위구를 최대 몇개까지 접하게 할 수 있는 수를 말한다. [다른 말로는 contact number 라고도 하는데, 키스 숫자가 좀 더 대중적인 표현이다. - 일단 뇌리에 잘 박힌다; ]
1차원에는 당연히 두개가 될 것이고 2차원에서는 6개, 3차원에서는 12개가 된다. [2차원도 사실 조금 생각해 봐야 한다. 밑의 그림을 생각해보자 ]
3차원을 증명하는 것은 조금(?) 많이 어려운데
처음 이 12개를 증명(?)한 사람이 바로 그 아이작 뉴턴이다.
증명에 (?) 를 붙인 것은 사실 뉴턴은 이를 증명하지 않았기 때문이다. 이 3차원의 구에 접하는 문제는 1694년도 뉴턴과 그레고리의 논쟁으로 유명해졌다. 당시 뉴턴은 최대 12개가, 그레고리는 최대 13개가 접할 것이라고 추측(?) 했다. 실제로 이 문제는 1953년 쉬틀과 베르덴이 수학적으로 증명하였고 12개로 판별되었다. [결국 뉴턴이 승자가 된건가...]
차원이 더 증가하면 이 문제는 더 복잡해진다. 심지어 4차원 조차 알려진지 얼마 되지 않았다. 1972년도가 되어 4차원의 키스숫자가 24와 25사이라는 것을 알게 되었고 그 뒤에서야 정확히 24란 것을 러시아의 무신이 밝혔다.
키스 숫자는 이렇게 차원에 따라 다르다. 그렇기에 키스 문제란, 이러한 인접한 최대 단위 구의 숫자를 차원을 늘렸을 때 어떻게 "일반적으로" 구할 수 있겠는가에 대한 문제이다. [일반적으로 구할 수 있는 formula 가 있을까? 만약 그런 공식이 없다면, 각 공간 차원에서의 키스 숫자를 정확히 구할 수 있을까? 그 숫자가 의미하는 것은 무엇일까? 등등]
현재까지 n>4 보다 큰 경우 (n=8, 24 를 제외하고 - 이 경우는 lattice 구조를 이용하여 구할 수 있다. E8 과 Leech lattice! E8 lattice 는 특히 unimodular 해서 매우 중요하다 ) 의 이 키스 숫자는 알려져 있지 않다. (즉 1,2,3,4,8,24 의 경우에 정확한 값이 알려져 있다.)
물론 추정 구간은 알려져 있다.
이 추정 구간을 추측(?) 하는 것에 사실 리만 제타 함수가 쓰인다.
물론 요새는 컴퓨터를 활용하여 이 bound 를 줄여나가는 시도도 많이 하고 있다!
구조적으로 비슷한 문제가 도 하나 있는데 바로 sphere packing problem 이라는 문제이다. 3차원에 관해서 케플러 추측이라고도 한다. [관련 포스팅 [수학] 컴퓨터와 수학 // 4색문제와 케플러의 추측! power of computer! ]
sphere packing problem 은 겹치지 않게 n 차원 구를 R^n 에 가장 밀도 높게 넣는 문제를 말한다.
아주 재미있게도 이 문제도 bound 는 알려져 있지만 정확한 숫자는 n 이 1,2,3,8,24 일때만 알려져 있고 n=8 일때는 kissing problem 과 같이 E8 lattice 로 n=24 일 때는 Leech lattice 를 이용하여 풀린다. [사실 이는 E8 lattice 와 Leech lattice 의 unimodular property 와 관련이 있다! 그리고 이 두 lattice 는 코딩이론에서도 많이 쓰인다...]
참고로 이 Sphere packing bound 의 또 다른 이름은 Hamming bound 로 코딩 이론에서 매우 중요한 역할을 한다.
정확히 값을 알지 못하는 차원에서 이 키스 문제와 sphere packing problem 문제를 풀면 여러분은 유명해 질 수 있다! [아니면 이 글을 바탕으로 키스 관련 이야기가 나왔을 때 쉘든식 개그소재로 이용할 수..]
참고문헌
Kissing Number-Mathworld
Kissing Number Problem-wiki
Sphere packing-Wiki