La semana pasada estuvimos hablando un poco sobre lo que es un modelo matemático, así como también hicimos un breve paseo por el modelo poblacional simple de Malthus, el cual es el modelo más popular en el área de Biología. Pero no es el único que existe, de hecho, hay muchos más, pero hay otros que también son muy populares, se trata del modelo de Fibonacci y el logístico.
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Comencemos hablando del Modelo de Fibonacci, el cual se podría considerar como uno de los más antiguos del crecimiento poblacional. Dicho modelo se utilizo para describir el crecimiento de una población de conejos, este autor planteo lo siguiente: Partiendo de una pareja de conejos (hembra y macho) se formuló las interrogantes, ¿Cuántas parejas habrá al principio de cada temporada? ¿Qué cantidad hay después de n temporadas?
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Es por ello, que Fibonacci estableció algunas reglas para poder plantear el modelo, las cuales fueron:
1- Se comienza el estudio con una única pareja
2- Cada pareja puede reproducirse pasado cierto tiempo T.
3- Cada pareja produce una única nueva pareja (hembra y macho) de conejos cada temporada de crianza, ósea pasado el tiempo T.
4- Los conejos son inmortales.
Ahora, si se denota a, donde:
Nt: Es el numero de parejas (hembra y macho)
T: Es la temporada.
Partiendo de ello, se estableció una secuencia infinita de números naturales; partiendo desde el número 0 y 1, en los cuales se van sumando a pares, de manera tal que cada número es igual a la suma de sus dos anteriores. La población de conejos se describe por la ecuación en diferencias:
Y esa fórmula genera la popular y famosa sucesión de Fibonacci:
Ahora, partiendo de este planteamiento es importante acotar que es necesario la aplicación de fundamentos matemáticos como ecuaciones algebraicas, potenciación, fracciones, radicalización, derivadas, ecuaciones diferenciales, entre otros.
Otro modelo muy utilizado en biología y medicina es el Modelo Logístico. Debido a que el modelo de Malthus y Fibonacci funcionaron muy bien, pero era necesario plantear otro, entonces se establece el modelo logístico, el cual es una función matemática que estudia el crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades y difusión en redes sociales. Es un refinamiento del modelo exponencial para el crecimiento de una magnitud.
La función logística simple se puede definir mediante la expresión que se presenta a continuación:
Sabiendo que P se denota como la población y e es la constante de Euler y la variable es considerada como el tiempo. Partiendo de algunas propiedades que tiene este modelo vemos la matemática utilizada, por ejemplo:
- Crecimiento acotado: Para ello es necesario comprender el estudio de intervalos y las relaciones mayor que y menor que < >.
- Aproximación exponencial: Para esta parte, es necesaria la aplicación de conceptos fundamentales de funciones, específicamente funciones exponenciales y logarítmicas.
- Valores límite: Basado en conceptos generales de límite, propiedades de los límites y limites unilaterales.
Finalmente, es propicio resaltar que este modelo logístico fue el utilizado para modelar todo lo concerniente al COVID-19.
Continuando con el estudio de los modelos matemáticos, en la Bilogía Celular y molecular también se utilizan modelos, entre algunos están:
Modelos de la dinámica interna del ADN
- Modelos lineales: Una única cadena, una cadena doble.
- Modelos no lineales: Como el modelo de Englander, modelo de crecimiento tumoral, modelo para protocolos de quimioterapias, modelo fractal para el crecimiento de tumores.
Estos últimos modelos son más nuevos, lo cual hace que presenten simulaciones en 3D; sin embargo, la matemática que contemplan es similar al de los tres modelos descritos, con adición de series, sucesiones e integrales definidas. Para concluir podemos establece la importancia y aplicabilidad que presenta la matemática en la Biología, ciertamente no posee una dependencia del 100%, pero se apoya en ella para conocer, demostrar y entender muchos de sus fenómenos.
Referencias
Álvarez, N. (2006). Modelos matemáticos en biología: un viaje de ida y vuelta. Universidad de Sevilla. Disponible en:
Rodigues, R. (2021). Un abordaje de los cuaterniones de Fibonacci con un enfoque en la teoría de situaciones didácticas. Revista iberoamericana de educación matemática. Disponible en:.
