La solicitación del momento flector es la misma tanto para sistemas usuales como para el caso de cargas perpendiculares al plano. Solo cambia la manera de representar al momento flector, que usualmente se representa mediante una "flecha que gira", y ahora lo veremos como una "doble flecha". La diferencia radica en la proyección que estamos viendo. De verlo "de frente", ahora vemos al momento flector "desde arriba".
Esta solicitación es muy común en los elementos estructurales. Es la que tiene mayor incidencia tanto en la altura de las vigas/trabes de acero como la cantidad de barras de acero dentro de una viga de concreto armado. Es por ello que es muy importante aprender a determinar y estudiar el comportamiento de esta solicitación dentro de un elemento. Esto lo aprendemos en Estática, y en esta ocasión lo haremos para estructuras con cargas perpendiculares al plano.
El principio es el mismo al utilizado previamente en sistemas con cargas en el plano: Diagramas de Momento flector en cargas en el plano Parte I (Introducción), Diagramas de Momento flector Parte II (abordaje cualitativo) y Diagrama de Momento flector Parte III (abordaje matemático). Pero en esta publicación abordaremos el mismo caso visto desde otra proyección, en donde solo hay diferencias en la manera de representar el momento.
Los principios matemáticos son los mismos, por lo que será fácil hacer la analogía, pero las cargas distribuidas y puntuales no se representan igual, por lo que habrá que adaptarse a esta nueva simbología y su sentido de orientación.
Abordaje cualitativo (gráfico)
Podemos empezar el abordaje cualitativo abordando los casos que suelen aparecer y su particularidad respecto al diagrama de momentos flectores.
De acuerdo a todos los casos de carga que hemos visto hasta ahora, tenemos las siguientes condiciones del problema: casi simple (sin cargas externas), carga puntual (fuerza puntual), carga puntual (momento externo puntual), carga distribuida uniforme y carga distribuida triangular o trapezoidal. Por supuesto, podemos encontrar una combinación de dos o más casos juntos, pero esto solo requiere de abordar el problema con cierta metodología.
Caso simple: sin cargas externas
Este es el caso más común, o uno de los más comunes. Si no existen cargas externas en una barra o elemento, el diagrama de momento flector tendrá una variación lineal, ya sea creciendo o decreciendo.
El diagrama de momento flector puede empezar ya sea en un valor positivo o negativo, dependiendo del sentido del momento inicial, el cual se encuentra en el extremo izquierdo de la barra o intervalo (cuando nos situamos en un sector interno de la barra).
Cabe destacar que el diagrama de momento flector será de valor constante o uniforme únicamente cuando el diagrama de fuerza cortante (que suele elaborarse previamente) es de valor nulo en determinado dominio o sector.
Con carga externa puntual (fuerza)
Tal como ya lo sabemos de diagramas con cargas en el plano, el efecto de cargas o fuerzas puntuales externas es el de generar un cambio de pendiente en el diagrama de momentos fletores.
Es decir, si el diagrama presenta ya de por sí una pendiente dada, al llegar a un punto donde una fuerza puntual se aplica, el diagrama cambiará de pendiente, ya sea que sea más o menos inclinado, dependiendo de si la fuerza puntual se aplica hacia arriba o hacia abajo.
Ya se demostró esto con una animación en publicaciones anteriores (cargas en el plano):
Para el caso de cargas perpendiculares al plano, tendríamos que cambiar la orientación o simbología de las cargas y vínculos externos en el dibujo:
Tal como se demostraba en la animación de arriba, en el caso de cargas perpendiculares al plano, también podemos utilizar el área del diagrama de fuerzas cortantes para hallar los valores del momento flector. Esto se demuestra matemáticamente más adelante.
Con momento externo puntual
En este caso el problema es sencillo, ya que un momento externo solo introducirá un salto en el diagrama, ya sea hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si el momento externo es un vector orientado hacia arriba o hacia abajo respectivamente (recordar regla de la mano derecha).
Con carga externa distribuida
En este caso, cualitativamente podemos mencionar que las cargas distribuidas uniformes o rectangulares generan un comportamiento parabólico en el diagrama de momentos flectores.
Si la carga distribuida se dirige hacia arriba (dirección Z positiva o puntos), el momento flector será una parábola cuyo punto máximo se encuentra abajo, y viceversa.
Aunque dispongamos del valor inicial del momento flector en el diagrama, suele ser necesario el abordaje matemático para así determinar con exactitud el comportamiento del diagrama, ya que pueden existir cortes con el eje donde el valor es nulo o valores máximos y mínimos, lo cual se hace utilizando el cálculo. Pero en casos donde el momento es nulo en los extremos (viga simplemente apoyada), se puede utilizar la fórmula mostrada para determinar el valor del momento máximo del diagrama.
Método cuantitativo (analítico)
Matemáticamente, podemos definir al momento flector como el área bajo la curva del diagrama de fuerzas cortantes. De manera similar, el momento flector es el "brazo de fuerza" producido por las fuerzas de corte en cada punto de elemento o barra.
Se puede escribir de la siguiente forma: dMF=VZ•dx, por lo cual habría que integrar la expresión. Sin embargo, también debemos recordar que la fuerza de corte VZ=VZ(x) es el producto de otra integral, la cual involucra a la ecuación de la carga distribuida q(x) en el intervalo:
De esta manera, es posible evidenciar que la función que define al diagrama de momento flector será polinómicamente de un grado dos veces mayor a la función que define a la carga distribuida externa q(x). Si la carga distribuida es uniforme o constante, el diagrama de MF será parabólico. Es recomendable no utilizar directamente la ecuación ya desarrollada del momento flector sustituyendo valores, sino ir integrando sucesivamente hasta obtenerla.
De esta manera, el inicio del problema siempre empieza por determinar la ecuación de la carga distribuida externa q(x)=ax+b, la cual puede ser nula, constante o variable.
•Si q(x)=0, entonces no existe carga distribuida externa, y el diagrama de momentos flectores será lineal, ya sea creciente o decreciente.
•Si q(x)=±b, entonces la carga distribuida externa es constante, uniforme o rectangular, y el diagrama de momentos flectores será parabólico.
•Si q(x)=±ax±b, entonces la carga distribuida externa es triangular o trapezoidal, y el diagrama de momentos flectores será de tercer grado, y se debe recurrir a cierta convención gráfica para determinar su curvatura.
Ejemplos prácticos
Determinar diagramas de momento flector en los siguientes casos de carga:
En este primer ejemplo (extraído del post anterior dedicado a las fuerzas cortantes), vemos que en los primeros dos tramos la ecuación del momento flector resulta en una recta, ya que la ecuación de la fuerza cortante es solo un valor constante.
Por otro lado, en el tercer tramo el momento flector se torna parabólico, y bajo las leyes del cálculo, el punto donde la fuerza de corte es nulo, es un punto de momento flector máximo, es decir, la raíz de la derivada otorga la ubicación del máximo de la función.
Lo que hay que tener en cuenta en casos donde el sistema de cargas se divide en intervalos, es que el valor inicial en cada uno de estos intervalos es dado por el valor final del intervalo anterior, sumado al salto en magnitud que pueda haber si hay una carga puntual.
Abordaremos un segundo ejemplo, el cual también abordamos en el post anterior. En este caso, tenemos una carga distribuida trapezoidal. Ya construida la ecuación de la carga distribuida q(x)=ax+b, y habíéndola integrado paa hallar la ecuación VZ(x), procedemos a volver a integrar para hallar la ecuación MF(x).
Lo que hay que tomar en cuenta acá, es que el momento flector adquiere un comportamiento cúbico, y es complicado saber cuál es el comportamiento de esta función solo con observar su ecuación. Y esto es importante para saber si tendremos un punto o máximo o no dentro del intervalo y si la curvatura es una u otra.
Para resolver este problema, recurrimos a la convención gráfica para los diagramas de orden cúbico. Lo que podemos notar es que el diagrama de fuerza cortante se divide en dos zonas: una donde es positivo (+) y otra donde es negativo (-).
Esto indica que debemos primero situarnos en la zona que decrece positivamente (D+) de la convención gráfica, y el círculo nos dice la curvatura del diagrama de momento flector. Pero cuando el diagrama de fuerza cortante se vuelve negativo, nos trasladamos a la zona que crece negativamente (C-) (crece negativamente en magnitud), y el círculo de la convención gráfica nos indica la nueva curvatura a seguir a partir del punto máximo, la cual naturalmente sigue hacia abajo.
Aportes de esta publicación
Los diagramas de momento flector son vitales en la ingeniería estructural, y es por eso que en Estática Aplicada se prepara al estudiante en su elaboración, tanto en el caso usual como en el caso de cargas perpendiculares al plano. Es importante desenvolverse en la elaboración manual de estos diagramas para así adquirir cierto criterio a la hora de analizar solicitaciones en una estructura, y especialmente, analizar resultados en programas computacionales de cálculo estructural.
Referencias
•Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 202-208).Fuente
Publicaciones anteriores
•Introducción a las estructuras con cargas perpendiculares al plano | Estática Aplicada
•Equilibrio de estructuras con cargas perpendiculares al plano — Parte I (Introducción)
•Equilibrio de estructuras con cargas perpendiculares al plano — Parte IV (Despiece)
•Estructuras con cargas perpendiculares al plano — Barras inclinadas y proyección de reacciones
•Estructuras con cargas perpendiculares al plano — Diagramas de Solicitaciones (Introducción)
•Estructuras con cargas perpendiculares al plano — Diagramas de Momento Torsor
•Estructuras con cargas perpendiculares al plano — Diagramas de Fuerza Cortante
Imágenes de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y PowerPoint. GIFs elaborados mediante Photoscape.
Visite la comunidad StemSocial y las etiquetas #STEMsocial y #STEM-espanol para encontrar contenido de calidad referente a Ciencias, Tecnología, Ingeniería, Matemáticas (STEM por sus siglas en inglés) y otros tópicos relacionados. STEMsocial es una comunidad con cuatro años de trayectoria conformada por autores de todo el mundo en la que se comparte y apoya la difusión de contenido STEM de calidad entre sus usuarios.
| ¡Gracias por visitar! — ¡Thanks for visiting!  |