![Estructuras con cargas perpendiculares al plano — Barras inclinadas y proyección de reacciones.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/246b6orf5YLz3s6YDNmtfwSN8c2jMFJQoo3saepPf2XUNcmVqYEKjcqgwEVRFHcPmYQYC.png) Anteriormente, abordamos una introducción al tema de los diagramas de solicitaciones en estructuras con cargas perpendiculares al plano: *•[Estructuras con cargas perpendiculares al plano — Diagramas de Solicitaciones (Introducción)](https://peakd.com/hive-196387/@acont/estructuras-con-cargas-perpendiculares-al-plano-diagramas-de-solicitaciones-introduccion)* En la presente publicación, abordaremos un procedimiento que suele realizarse luego del despiece o cálculo de reacciones internas del sistema. Tomaremos el ejemplo abordado en la [publicación sobre el despiece](https://peakd.com/hive-196387/@acont/despiece-de-estructuras-con-cargas-perpendiculares-al-plano-4) de estos sistemas para ilustrar de manera práctica el caso particular que estudiaremos en esta publicación: ![Despiece estática cargas perpendiculares al plano.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/DP0U8SKS-Despiece20estC3A1tica20cargas20perpendiculares20al20plano.png) ^{Fuente: Rodríguez, Iván. Estática de las Estructuras, pág. 221.} Hay un **paso previo** a realizar para obtener los diagramas de solicitaciones de un elemento en particular de una estructura o sistema. Este paso previo es necesario si: **•Existen barras/elementos inclinados** (ver barras "BD" y "BC" en la imagen de arriba), ó **•Existen cargas externas inclinadas respecto al eje de una barra**. El motivo de esto es que necesitamos que todas las reacciones y cargas estén orientadas según los **ejes locales** de cada barra. Los diagramas de solicitaciones suelen realizarse a cada barra por separado, luego del despiece y cálculo de reacciones internas. Y cada barra o elemento lineal posee sus propios ejes locales independientes tal como vimos en la anterior publicación, por los cuales nos regimos a la hora de realizar sus diagramas de solicitaciones. # Transformación de reacciones al sistema local Este paso previo consiste en **proyectar todas estas cargas según el sistema local de cada barra**. Esto lo podemos realizar de manera manual o intuitiva, pero puede ser bastante efectivo hacerlo mediante ciertas **ecuaciones de transformación geométrica** que se encargan de **rotar los ejes** de proyección de estas cargas, de un sistema general (horizontal-vertical) a un sistema local, según la inclinación de la barra. Ya vimos esto en una publicación previa, pero aplicado a los sistemas convencionales con cargas en el plano: **[Estática Aplicada: transformación de reacciones al sistema local en barras inclinadas](https://hive.blog/hive-196387/@acont/est-tica-aplicada-transformaci-n-de-reacciones-al--1590963401)**. https://images.hive.blog/700x0/https://images.hive.blog/DQmU6q2AQsmJ1sFaZxmuabjdwiXoqS85kdTsPGgnzEFFx6L/Transformaci%C3%B3n%20de%20reacciones%20al%20sistema%20local%20acont%20Estatica%20Aplicada.jpg ^{[Fuente](https://hive.blog/hive-196387/@acont/est-tica-aplicada-transformaci-n-de-reacciones-al--1590963401)} Aunque en este caso estaremos tratando con cargas en otro plano y solicitaciones distintas, los principios geométricos son los mismos. Solo debemos realizar cambios a las ecuaciones de transformación de ejes como veremos más adelante. Ya vimos en la introducción a los diagramas de solicitaciones de estos sistemas que debemos hacer ciertas analogías:

Cargas en el plano

Cargas perpendiculares al plano

-|- Fuerza Axial (**N**) | Momento torsor (**M_T**) Fuerza cortante en el plano (**V**) | Momento flector (**M_F**) Momento flector (**M**) | Fuerza cortante en Z (**V_Z**) Esta analogía no es en términos de concepto o física, sino en términos geométricos (por decirlo de alguna forma): •La fuerza axial (**N**) es representada por una flecha paralela al eje longitudinal del elemento. De igual manera, el momento torsor (**M_T**) lo representamos mediante una **flecha doble (↠)** paralela al eje del elemento. •La fuerza cortante (**V**) se representa como una flecha perpendicular al eje longitudinal. El momento flector (**M_F**) se representa mediante una **flecha doble (↠)** en esta misma dirección. •El momento flector convencional (**M**) gira en torno al eje "Z". La fuerza cortante (**V_Z**) se orienta paralela a este mismo eje. Además, en ambas solicitaciones ocurre que sin importar la inclinación de la barra esta solicitación nunca requiere algún procedimiento adicional luego del despiece. Para esta publicación, nos interesa conocer cómo proyectar los momentos torsor y flector (**M_T** y **M_F**) hacia los ejes locales. Es decir, proyectar sus "flechas" o vectores hacia los ejes locales de cada barra inclinada. Las ecuaciones de transformación geométrica en el caso convencional son de la siguiente forma: ![Ecuaciones transformacion geométrica solicitaciones axial cortante Estática Aplicada.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/23wMekXbzmNrh5phcs5jpT6inDxiYsyQEV35srKfdmFv8RLp7eVydCvqUhHVaXTgF1tx4.png) En el presente caso, estructuras con cargas perpendiculares al plano, solo debemos sustituir los términos dados: ![Ecuaciones ejes locales solicitaciones momento torsor flector cargas perpendiculares al plano Estática Aplicada.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/23wCG68dpcYGw9NNBVDrRqL98Ma1SiA2MV9uZXnVDao3W4H4brvqBv8NaLtss68UCfRKr.png) Para entender gráficamente los términos de estas ecuaciones, ilustraremos una barra inclinada sometida a reacciones en sus extremos. Estas reacciones, se orientan según ejes globales o generales convencionales **X** y **Y**, horizontal y vertical respectivamente. Y son por supuesto, una fuerza perpendicular al plano **V_Z** y dos momentos **M_X** y **M_Y**. ![Proyección de reacciones al sistema local barras inclinadas cargas normales al plano.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/48FmQCgF88ANM5v9bzxwwCRCsraiR4VghfajxuRznV7cuEUsYPb6Tx1dzVDaJq6YLL.png) El propósito de estas ecuaciones es hallar las solicitaciones locales en los extremos de la barra, realizando una rotación de estas reacciones iniciales según el ángulo "φ" respecto a la horizontal. Tal como en el [post anterior (cargas en el plano)](https://peakd.com/hive-196387/@acont/est-tica-aplicada-transformaci-n-de-reacciones-al--1590963401), tenemos ciertas reglas de signos para el uso de estas ecuaciones: •El signo de **M_X** y **M_Y** depende de la orientación de estos vectores. Por ejemplo, si tenemos 3 Ton-m hacia arriba y 2 Ton-m hacia la izquierda, sus valores son **M_X=-2 Ton-m** y **M_Y=+3 Ton-m** respectivamente. •El valor de **Sen(φ)** y **Cos(φ)** depende de la inclinación de la barra. Y se tomará su signo según el **cuadrante** donde se encuentre el ángulo. Para entender mejor esto tomaremos una imagen de dicha publicación anterior: https://images.hive.blog/700x0/https://images.hive.blog/DQmSHis7KTf93xKeGuKNv5mGSQZze7yFeeTfNeCygz1U8Gg/4.jpg ^{[Fuente](https://peakd.com/hive-196387/@acont/est-tica-aplicada-transformaci-n-de-reacciones-al--1590963401)} Dependiendo de en qué extremo nos ubiquemos y la inclinación de la barra, tendremos un cuadrante u otro. Para conocer el signo, solo debemos tomar una calculadora y calcular el Seno y el Coseno de un ángulo cualquiera del cuadrante (*por ejemplo, para el cuadrante III realizamos el cálculo de Sen(181°) y Cos(181°) y nos fijaremos solo en el signo obtenido*). Ahora, para determinar el valor numérico de **Sen(φ)** y **Cos(φ)**, es recomendable utilizar los valores de la pendiente de la barra y no buscar calcular el valor del ángulo "**φ**". En dicha publicación ya mencionada se explica esto con mucho mayor detalle. ## Ejemplo práctico Para asimilar mejor esto con el presente tema, calcularemos las solicitaciones locales en los extremos de la barra "**BD**" del ejemplo abordado anteriormente en [esta publicación](https://peakd.com/hive-196387/@acont/despiece-de-estructuras-con-cargas-perpendiculares-al-plano-4). Tomaremos los resultados ya obtenidos en dicha publicación de las reacciones internas que actúan en los extremos de la barra. ![Despiece estructuras cargas perpendiculares al plano.gif](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/Eo2BPqz1tQ5UCfSGYVGFgDyHUZDoYBYh4eJpUfLsYGuCHJPV4wd7mSA5GRvH2EGg5VN.gif) ^{[Fuente](https://peakd.com/hive-196387/@acont/despiece-de-estructuras-con-cargas-perpendiculares-al-plano-4)} Luego de **asignar ejes locales** a la barra (para establecer una orientación), lo primero que debemos hacer es determinar previamente el signo y valor de los factores de las ecuaciones de transformación geométrica. Esto lo debemos hacer por separado para cada extremo de la barra. Es decir, 1 barra conlleva 4 cálculos. En este ejemplo sucede que los momentos son nulos en un extremo, por lo que solo haremos un par de cálculos. ![Proyección al sistema local.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/23t8AwWof3wxxef5p8XMxuhyonFqbdpjzEGPrAEKk8etMaYXqCBGxzoBuNFe2HZLhjERr.png) Luego, calculamos el valor de las solicitaciones de momento flector y momento torsor, introduciendo los términos con su respectivo signo en las ecuaciones: ![Ecuaciones transformacion geométrica.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/Eo1wtWVeeuedakEEB1n2pNopktDAxNndwK7QuiytrbDLy6kqwPpC9LgqQBn3PGbRJKn.png) Una vez determinado el resultado definitivo de las solicitaciones, solo nos queda un último paso. Un último "*detalle*" que debemos tomar en cuenta. Estos resultados pueden tener un signo negativo ¿Qué sentido tendrían los vectores en los extremos de la barra? Solo debemos apegarnos a la convención de signos utilizada en los diagramas de solicitaciones. Esta convención rige el sentido positivo de las solicitaciones locales: ![Resultado proyección cargas al sistema local.png](https://files.peakd.com/file/peakd-hive/acont/23u6WhLp5hkjaJPgfrPxGRacC7M2TxC9TsadHVnJmqn4qpP9KV6vYDrAS2PMHV5rb1pEQ.png) De esta manera, **asignando ejes locales** podremos distinguir extremo izquierdo y derecho de la barra, que podemos usar como referencia respecto a la convención que indica el sentido positivo. En la imagen de arriba, podemos observar que el momento flector de 1.875 Ton-m se orienta hacia abajo, ya que su resultado fue negativo, por lo que debe orientarse al contrario de cómo dice la convención para el extremo izquierdo. Si se tratara del extremo derecho "D", el signo negativo indicaría que deberá orientarse hacia arriba. --- Ya abordado esto, es posible dar paso a realizar los diagramas de solicitaciones de cualquier elemento de sistemas isostáticos con cargas perpendiculares al plano. Cabe destacar que en el segundo caso mencionado (**cargas inclinadas respecto al eje de la barra**), no es necesario aplicar estas ecuaciones, sino simplemente aplicar una relación geométrica para proyectar la carga en sus dos componentes deseados.

# Aportes de esta publicación Siempre es necesario realizar procedimientos adicionales cuando se trata de barras inclinadas. Es por ello que esta publicación aborda una manera de solucionar este problema, específicamente para el caso de estructuras con cargas perpendiculares al plano. Es necesario realizar correctamente la proyección de los momentos, para hallar los valores correctos de los momentos flector y torsor del elemento. De esta manera se hallan los valores correctos en los diagramas de solicitación.

Referencias

•Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 202-204, 221-223)._{[Fuente](https://www.dropbox.com/sh/2s1ipp09qn866p3/AABoQ80DY57vcVfoNJyJfeDGa?dl=0&preview=GUIA+DE+ESTATICA+PARA+INGENIEROS+2003.pdf)} --- Imágenes de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y PowerPoint. GIFs elaborados mediante Photoscape.

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