저번주 페르마에 이어서 이번주는 파스칼에 대해서 소개해볼까합니다. 많은 분들이 파스칼에 대해서 아실꺼라 생각됩니다.
Blaise Pascal(파스칼 1623~1662 프랑스)
거의 대부분의 수학자가 수학뿐만 아니라 다른 분야에서도 그 천재성을 나타내는데 파스칼도 물리 철학 종교 발명까지 특히 계산기를 발명하셨습니다.
어릴적 파스칼의 아버지는 수학과 과학을 공부시키지 않았다고 합니다. 오히려 그게 파스칼에게는 호기심으로 작용해 독학으로 수학을 공부해서 10대에 이미 많은 것들은 증명하게 됩니다. 역시 이분도 천재 인정이네요
제가 파스칼을 2번째로 소개하게 된 것은 페르마를 좋아하다보니 파스칼에 대해서도 자연스럽게 알게 되어서였습니다.
지금으로 따지면 페르마의 연관 검색어에 파스칼이 있다라고 해도 되겠죠 그 반대일수도 있고요
오늘 소개해드릴 것은 확률에 기원에 대한 이야기 입니다. 개인적으로 확률을 정말 좋아합니다. 젤 못하는 수학과목중에 하나였는데 지금은 젤 좋아하고 어느정도는 하게된 수학분야죠.
특히 이 글은 대학원 수업시간에 발표한 적이 있어서 그때 적었던 글을 찾았는데 못 찾겠더라고요 그래서 다시 머리속에 있는 내용 떠올리면서 써보려고 합니다.
그 당시 프랑스에 한 도박자였던 슈벨리에 드 메레는 문득 이런 상황에서 어떻게 해야할지 궁금해 합니다. 그것은 바로 2명이 사람이 판돈 32 피스톨을 걸고 먼저 2판을 이기면 걸었던 판돈 64 피스톨을 다 가져가는 룰의 도박이였는데 도박을 하던 도중 경기가 중단되면 판돈은 어떻게 분배해야하는 문제였던 것입니다.
이 문제를 해결하기 전까지 중간에 중단되면 그냥 서로 걸어둔 판돈을 다시 가져가는 식으로 진행되고 있었는데
만약 A와 B가 첫판을 진행하였고 A가 첫판을 이긴 상태에서 게임이 중단될 경우 한판만 더 이기면 그 판돈은 A의 돈이 됩니다. 그런데 중간에 중단되어서 그 돈을 못가져가면 상대적으로 A는 억울할 것입니다. 물론 도박은 하지 말아야하는 것이지만요
그래서 드 메레는 평소 알고 지내던 파스칼에게 이 경우 어떻게 판돈을 나누는게 좋겠냐고 편지를 보냈고 파스칼은 이 문제를 보자마자 친구인 페르마에게도 풀어보라며 편지를 보냅니다. 이렇게 두사람은 서로 편지를 주고 받으면서 확률의 기원을 확립하게 됩니다.
두사람은 각자의 방법으로 이 문제를 해결했고 그 답은 일치하였습니다.
그러면 파스칼이 해결한 방법을 설명하겠습니다.
파스칼은 일단 기대값을 생각했습니다. 두 사람은 총 3판을 진행해서 2판을 이기는 사람이 판돈을 다 가져가는 도박을 했습니다. 그런데 A가 이미 한판을 이기고 있기 때문에 누가 생각을 해도 A가 이 도박을 이길 확률이 높다는 것은 알고 있습니다. 하지만 그 당시에는 확률에 대한 개념이 없었기에 파스칼은 이런 생각을 했습니다.
A가 이기는 경우
A A A (3판을 다 A가 이기면 도박은 A가 승리하게 됩니다.)A A B (3판을 진행하는 동안 먼저 2판을 A가 이기고 3번째 판을 B가 이긴다 해도 결국 A의 승리가 됩니다.)
A B A (3판을 진행하는 동안 서로 번갈아 가면서 이기면 결국 승자는 A가 됩니다.)
이처럼 A가 이기게 되는 경우는 총 3가지 경우가 나옵니다.
B가 이기는 경우
A B B (3판을 진행하는 동안 B가 이길수 있는 경우는 이 방법 밖에 없습니다.)
그렇기 때문에 그것을 우리가 지금 현재 알고 있는 확률로 본다면 전체 도박을 진행하는 방법의 가지수는 4가지 이고
A가 이기는 경우는 그중에서 3가지 이므로 A의 이길 확률은 3/4입니다. 반대로 B가 이길 확률은 1/4가 되는 것이지요
하지만 이 당시에는 확률에 대한 개념이 없었기 때문에 이런 생각으로 파스칼은 이 문제를 해결했다고 보시면 됩니다.
이해를 돕기 위해서 확률과 경우의 수를 들어서 설명을 했습니다.
자 그러면 파스칼의 풀이를 파스칼의 삼각형을 가지고 설명해보겠습니다.
이 그림은 다들 한번쯤 보셨을 것이라 생각됩니다. 여기서 방금 설명한 문제를 해결하면 총 4가지의 경우가 나왔으므로 빨간색으로 네모를 쳐둔 부분을 봐 주시면 1 2 1이라는 숫자가 적혀 있습니다.
그걸 해석하자면 A가 이기는 경우가 1 2 총 3가지를 뜻하게 되고 B가 이기는 경우는 1이 되는 것입니다. 그걸 64피스톨의 판돈을 가지고 계산하면 결국 A는 48피스톨 B는 16피스톨을 가져가고 두사람의 돈을 합치면 다시 64피스톨이 되는 것을 확인할 수 있습니다.
만약 판수를 늘려서 5판을 진행하고 그중에서 3판을 먼저 이기는 쪽이 판돈을 가져가는 도박을 하던 도중 2판까지 A가 2승을 한 상태에서 도박이 종료되었다면 판돈을 어떻게 분배해야 할까라는 문제로 확장을 하더라도 파스칼의 삼각형을 이해하셨다면 그 답을 쉽게 계산할 수 있게 됩니다.
1 3 3 1이 부분에서 B가 이길수 있는 방법은 이미 A A B B B 밖에 없으므로 B가 이길 확률은 1/8이 되고 A가 이길 확률은 7/8이 되기 때문에 주어진 판돈을 저 비율로 나누어 가지면 됩니다.
최대한 쉽게 설명하려고 했는데 재미있게 보셨는지 모르겠습니다. 한주 내내 열심히 글을 쓰기 위해 생각을 정리했지만 막상 쉽게 쓰기가 힘들다는 생각이 듭니다. 그래도 즐거운 마음으로 작성했습니다. 더운 날씨에 잠시나마 글을 읽고 여유를 가지셨으면 좋겠습니다 ^^