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양자 확률은 어디에서 오는가
확률에 대해 생각하는 방법에는 여러 가지가 있다. 양자 역학은 그것들 모두를 포함한다.
Sean Carroll
Contributing Columnist
1814년 출간된 확률에 관한 철학적 에세이에서 피에르 시몬 라플라스(Pierre-Simon Laplace)는 널리 알려진 이론적인 창조물, 즉 현재 우주의 완전한 물리적 상태를 알고 있는 "거대한 지능"을 소개했다. 이후의 해석가들에 의해 “라플라스의 악마Laplace 's demon”라는 별명을 가진 그러한 것이라면 과거에 무슨 일이 있었는지, 미래에 어떤 일이 일어날 것인지에 대해 모르는 게 없을 것다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)이 묘사한 시계태엽장치 세계(clockwork universe)에 따르면 과거와 미래는 현재에 의해 정확하게 결정된다.
라플라스의 악마는 결코 실제 사고 실험이어서는 안된다. 가상의 지능은 본질적으로 우주 자체 만큼 거대해야 한다. 그리고 실제로, 시스템 초기 지식의 불완전성은 혼돈의 역학으로 완전한 불확실성으로 증폭될 수 있다. 그러나 원칙적으로 뉴턴 역학은 결정론적이다.
100년 뒤, 양자 역학이 모든 것을 바꾸었다. 일반적인 물리 이론은 시스템이 무엇이며 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는지 알려준다. 양자 역학도 이를 알려주지만, 시스템을 관찰하거나 측정 할 때 발생하는 상황을 지배하는 완전히 새로운 규칙이 제공된다. 가장 중요한 것은 원칙적으로도 100% 확실하게 측정 결과를 예측할 수는 없다는 것이다. 보른 규칙(Born rule)에 따라 가능한 결과를 얻을 수있는 확률을 계산하는 것이 우리가 할 수 있는 최선이다. 파동 함수는 각 측정 결과에 "진폭"을 할당하고 그러한 결과를 얻는 확률은 진폭의 제곱과 같다. 알버트 아인슈타인이 신이 주사위 놀이를 한다고 불평한 것은 바로 이러한 특성 때문이었다.
연구자들은 양자 역학에 대해 생각하는 가장 좋은 방법을 계속 고민하고 있다. 양자론의 "해석"이라 불리는 여러 이론들이 있는데, 지금까지 테스트 한 체제에서 동일한 예측을 하는 별개의 물리 이론으로 생각하는 것이 좋다. 그것들은 모두 확률 아이디어에서 기인하는 특징이 있다. 도대체 "확률"이란 무엇인가?
파악하기 어려운 다른 여러 개념들과 마찬가지로 '확률'은 겉으로는 직설적이며 상식적인 의미로 시작하지만 들여다보면 까다로워진다. 동전을 여러 번 뒤집으면, 특정한 시도에서 앞면이 나올지 뒷면이 나올지는 완전히 알 수는 없지만 여러 번 시도하면 전체 가운데 앞면 절반, 뒷면 절반이 예상된다. 그렇기에 앞면이 나올 '확률'은 50%이며, 뒷면도 마찬가지이다.
러시아 수학자 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)와 다른 이들의 연구 덕분에 우리는 확률의 수학을 다루는 방법을 알고 있다. 확률은 0과 1사이의 실수이다. 모든 독립 사건의 확률은 1까지 더하는 식이다. 그러나 그것은 실제 확률을 결정하는 것과는 다르다.
확률을 정의하는 방법에는 여러 가지가 있지만 두 가지 큰 범주로 구분할 수 있다. "객관적" 또는 "물리적" 관점은 확률을 시스템의 기본 특징으로 다루며, 물리적 행동에 특성을 부여하는 가장 좋은 방법이다. 확률에 대한 객관적인 접근법의 하나인 빈도론(frequentism)에서 확률은 동전던지기 예에서와 같이 여러 번의 시도에서 발생하는 빈도로 정의된다.
반면, 확률을 개인적으로, 개인의 믿음을 반영하거나, 신념의 정도, 진실이 무엇인지, 무슨 일이 일어날 것인지에 대한 "주관적"이거나 "증거지향적"인 관점이 있다. 예를 들어 수학 정리인 베이즈의 법칙(Bayes’ law)을 강조하는 베이지안(Bayesian) 확률은 새로운 정보를 얻을 때 우리의 신념을 업데이트하는 방법을 알려준다. 베이지안은 합리적인 생명체가 정보가 불완전한 상태에서 상상할 수 있는 모든 일을 개인의 신념으로 둘러보며 새로운 데이터가 들어올 때마다 지속적으로 업데이트한다고 생각한다. 빈도론과 달리 베이지안에서는 다음 선거에서 누가 이길 것인지, 심지어 불확실한 과거의 사건과 같은 일회성 사건에 확률을 부여하는 것이 완벽히 가능해진다.
흥미롭게도, 양자 역학을 이용한 접근 방법은 근본적으로 확률의 의미를 다르게 본다. 양자 역학적 사고는 확률을 아는 데 도움이 되고 그 반대도 마찬가지이다. 좀 더 비관적으로 보자면, 현재 우리가 이해하는 양자 역학은 모든 개념이 양자 모형(quantum formulation)이나 다른 것에 기반하기 때문에 여러 확률 개념 중에서 하나를 선택하는 데 도움이 되지는 않는다.
양자 역학에 대한 3가지 주요 접근법을 고려해 보자. 지안카를로 기라르디(Giancarlo Ghirardi), 알베르토 리미니(Alberto Rimini), 툴리오 베버(Tullio Weber)에 의해 1985년에 제안된 GRW 모델과 같은 “동적 붕괴” 이론이 있다. 루이 드 브로이(Louis de Broglie)의 아이디어를 바탕으로 1952년 데이비드 봄(David Bohm)이 발명해 흔히 드브로이-봄 이론으로 알려진 "파일럿 웨이브" 또는 "숨은 변수" 접근 방식이 있다. 그리고 1957년 휴 에버렛 (Hugh Everett)이 제안한 “다세계” 해석이 있다.
이들은 각각 양자 역학의 측정 문제를 해결하는 방법을 제시한다. 문제는 전통적인 양자 역이 슈뢰딩거 방정식에 따라 매끄럽고 결정론적으로 나아가는 파동 함수의 관점에서 시스템의 상태를 설명한다는 것이다. 적어도 시스템을 관찰하지 않는 한 그렇지 않다. 이 경우 교재에 따르면 파동 함수는 갑자기 특정 관측 결과로 "붕괴"한다. 붕괴 자체는 예측할 수 없다. 파동 함수는 가능한 결과에 확률을 부여하고, 그 결과가 관측될 확률은 파동 함수의 제곱과 같다. 측정 문제는 간단하다. "측정"은 무엇인가? 정확히 언제 발생하는가? 측정은 평범한 진행(ordinary evolution)과 왜 다르게 보일까?
동적 붕괴 이론은 아마도 측정 문제에 가장 간단한 해결책을 제시할 것이다. 그들은 양자 진행에 정말로 무작위적인 요소가 있다고 가정하는데, 모든 입자는 보통 슈뢰딩거 방정식을 따르지만 때때로 파동 함수는 공간의 어떤 위치에 자발적으로 국소화된다. 이러한 붕괴는 매우 드물기 때문에 입자 하나에서는 관찰이 불가능하지만 수많은 입자로 이루어진 거시적 세계에서는 붕괴는 늘 발생한다. 이것은 악명 높은 '슈뢰딩거의 고양이' 사고 실험과 같이 거시적인 물체가 중첩으로 관찰되는 것을 막는다. 거대한 시스템의 모든 입자는 서로 얽혀 있어서, 그 중 하나가 공간에 국소화되면, 나머지는 따라가게 된다.
이러한 모델의 확률은 기본적이고 객관적이다. 미래를 정확히 결정하는 현재에 대해서는 아무것도 없다. 동적 붕괴 이론은 오래된 빈도론 관점에서 완벽하게 들어맞는다. 다음에 일어날 일은 알 수 없고, 오직 결과의 장기적 빈도가 어떻게 될 것인지에 대해서만 말할 수 있다. 라플라스의 악마는 우주의 현재 상태를 정확히 알고 있더라도 미래를 정확하게 예측할 수 없을 것이다.
파일럿 파동 이론은 매우 다르게 설명한다. 무작위한 것은 없다. 양자 상태는 뉴턴이 했던 고전적인 상태처럼 결정론적으로 진행된다. 전통적인 파동 함수 외에 입자의 실제 위치와 같은 숨은 변수가 새로운 요소이다. 우리가 실제로 관찰하는 것은 입자인 반면, 입자를 안내하는 것은 파동 함수이다.
어떤 의미에서 파일럿 파동 이론은 우리를 고전 역학의 시계태엽장치 우주로 돌아오게 하지만, 중요한 차이가 있다. 관찰하지 않을 때, 우리는 숨은 변수의 실제 값을 알지 못하고 알 수 없다. 파동 함수를 정확하게 알 수 있게 준비 할 수 있지만, 숨은 변수는 관찰을 통해서만 알아낼 수 있다. 최선은 무지를 인정하고 가능한 값에 대한 확률 분포를 도입하는 것이다.
다시 말해, 파일럿 파동 이론에서의 확률은 완전히 주관적이다. 그것은 시간에 따른 객관적인 발생 빈도가 아니라 우리의 지식을 따른다. 파동 함수와 숨은 변수 전부를 알고 있는 막강한 라플라스 악마는 미래를 정확하게 예측할 수 있지만 파동 함수만 알고 있는 절름발이 버전은 여전히 확률론적 예측을 해야 할 것이다.
다음으로 '다세계'가 있다. 개인적으로 가장 좋아하는 양자 역학 해석이지만, 확률이 게임에 어떻게 그리고 왜 들어가는지를 알아내는 것이 가장 어렵기도 하다.
'다세계' 양자 역학은 모든 안 가운데 가장 간단한 방식이다. 파동 함수가 있고, 슈뢰딩거 방정식을 따른다. 그게 전부다. 붕괴도 없고, 다른 변수도 없다. 대신 슈뢰딩거 방정식을 사용해 관찰자가 여러 가능한 상태로 중첩된 양자 물체를 측정 할 때 어떤 일이 발생할지 예측한다. 답은 관찰자와 물체의 결합된 시스템이 얽힌 중첩으로 진행한다는 것이다. 중첩의 각 부분에서 물체는 분명한 측정 결과가 있으며, 관찰자는 그 결과를 측정했다.
에버렛이 놀라운 점은 “그래도 괜찮다.”라고 말한 것이다. 시스템의 각 부분은 다른 모든 것과 별도로 진행되며, 파동 함수 또는 세상은 분기된 것으로 인정된다. 다른 세상은 양자 형식주의를 따라 숨어 있다.
여러 세상에 대한 아이디어는 과장되게 느껴지거나 마음에 들지 않을 수 있지만, 과학적으로 무시할만한 것은 아니다. 보다 유효한 질문은 다세계 해석에서 확률의 본질이다. 다세계에서 우리는 파동 함수를 정확히 알 수 있으며, 그것이 결정론적으로 진행한다는 것을 안다. 알 수 없거나 예측할 수 없는 것은 없다. 라플라스의 악마는 완벽하게 우주의 미래 전체를 예측할 수 있다. 확률은 어떤 관련이 있는 것일까?
“자기 위치self-locating" 또는 “지표적indexical” 불확정성(uncertainty)이라는 아이디어에서 답을 얻을 수 있다. 양자 시스템을 측정 하려는데, 파동 함수가 다른 세계로 분기하는 것을 상상해보자(간단히 말해 두 개의 세계가 있다고 가정하자). “측정 후 내가 있는 세상은 어디인가?” 라고 묻는 것은 말이 되지 않는다. 분기된 세상 각각에 당신에게서 분리된 인물이 각각 존재할 것이다. 그 가운데 어느 한 명이 다른 쪽 사람보다 '실제 당신' 답다고 할 수는 없다.
그러나 두 사람이 우주의 파동 함수를 알고 있다 하더라도 지금은 모르는 것이 있다. 그러나 두 사람이 우주의 파동 함수를 알더라도 이제 그들이 알지 못하는 것이 있다. 파동 함수의 어느 분기에 있는지 알지 못한다. 분기가 발생하고 관찰자가 그들의 분기에서 얻은 결과를 알아내기 전까지 불가피한 시간 간극이 있다. 그들은 파동 함수에서 어디에 있는지 알지 못한다. 물리학자 레브 바이드만(Lev Vaidman)이 양자와 관련해서(quantum context) 처음 강조한 것처럼, 그것은 자기 위치 불확정성(self-locating uncertainty)입니다.
실험 결과를 매우 빠르게 볼 수 있어 불확정성이 눈에 띄지 않는다고 생각할지 모른다. 그러나 실제 세계에서 파동 함수는 10-21 초 이하의 시간 단위로 매우 빠르게 분기된다. 신호가 뇌에 도달하는 것보다 훨씬 빠르다. 파동 함수의 특정 분기에 있을 때 늘 일정한 시간 간격이 있으나, 어느 분기인지 알지 못한다.
이러한 불확정성을 합리적인 방법으로 해결할 수 있을까? 그렇다. 찰스 세벤스(Charles Sebens)와 내가 주장했듯 그렇게 할 수 있다. 그렇게 하면 보른 규칙을 정확하게 따른다. 파동 함수의 특정한 분기에 들어있다는 믿음은 기존 양자역학과 같이 그 분기에 대한 진폭의 제곱이다. 세벤스와 나는 새로운 가정을 세워야했다. 우리는“인식 분리 가능성 원리(epistemic separability principle)”라고 불렀다. 실험 결과에 대해 어떻게 예측 하든 시스템의 완전히 분리 된 부분에 대한 파동 함수만을 변경한다면, 이전과 똑같을 것이다.
자기 위치 불확정성은 파일럿 파동 모델에서 나타나는 것과 다른 인지적 불확정성이다. 우주에 대해 모든 것을 알더라도 여전히 불확실한 부분-여러분이 어디에 있는지-이 있다. 당신의 불확정성은 일반적인 확률 규칙을 따르지만, 신념에 숫자를 할당하는 합리적인 방법이 있다는 것을 확신하기 위해서는 약간의 노력이 필요합니다.
분기가 발생하기 전이더라도 지금 예측하기를 원한다고 반대 이유를 댈지 모릅니다. 그러면 불확실한 것은 없습니다. 우주가 어떻게 진행할지 정확히 압니다. 그러나 그 지식에는 미래의 모든 버전이 불확실하다는 확신이 포함되며, 그들은 보른 규칙을 이용해 신뢰도를 부여해야 합니다. 이 경우 보른 규칙에 의해 주어지는 다양한 결과의 빈도로 진정 확률론적인 우주에 사는 것처럼 정확하게 행동하는 것이 합리적입니다. (David Deutsch와 David Wallace는 결정 이론(decision theory)을 사용해 이 주장을 엄밀하게 만들었습니다)
어떤 면에서, 이러한 확률 개념들은 전부 '자기 위치 불확정성'의 버전들로 생각할 수 있습니다. 우리가 해야 할 일은 가능한 모든 세계의 집합, 즉 상상할 수 있는 현실의 다른 버전들 모두를 고려하는 것입니다. 그러한 세계들 중 일부는 동적 붕괴 이론 규칙을 따르며, 이들 각각은 지금까지 수행 된 모든 양자 측정에 대한 실제 결과 순서로 구별됩니다.
다른 세계들은 파일럿 파동 이론으로 설명되고 각각의 세계에서 숨은 변수는 다른 값을 지닙니다. 다른 세계들 또한 그들 모두 파동 함수의 어느 분기에 있는지 알지 못하는 다세계 현실입니다. 우리는 이들 가능한 세계 가운데 어느 것이 실제 세계인지에 대해 개인적인 믿음을 표현하는 것을 확률의 역할로 생각할 수 있을 것입니다.
확률 연구는 동전 뒤집기에서 분기된 우주로 우리를 데려갑니다. 이 까다로운 개념에 대한 이해가 양자 역학 자체에 대한 이해와 함께 진행되기를 바랍니다.