声明：本文不是财务建议。
随着加密货币的日益普及，它的未来价格一直是投机的主题。一些经济学家如Nouriel Roubini预测比特币价格未来五年内归零，而 John McAfee则预测2020年底每个比特币价格将达到100万美元。而其他大多数做出的预测都在这个幅度极大的范围内。
总体来说，比特币的价格从2009年诞生以来上涨迅速，且也受到繁荣和萧条的影响。快速上涨和繁荣阶段似乎鼓励McAfee这样的人对未来价格作出乐观预测，而萧条阶段则鼓励一些经济学家作出归零的预测。
在这篇文章中，我们观察比特币的整个价格历史，看到比特币的价格演变可以被理解为在一个走廊内移动，而这个走廊由两个基于时间的幂律法则来定义。尽管使用幂律法则对比特币的价格进行建模的想法并不新鲜，但本文对这一想法作出更多的阐述，并提供一些额外的解释。
（价格走向何方）
这一模型允许我们对比特币的未来长期价格作出更广泛的预测。例如：
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该模型预测比特币的价格不会早于2021年也不迟于2028年达到10万美元。2028年之后，价格将永远不会低于10万美元。
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每个比特币价格不会早于2028年之前，也不会迟于2037年之后，比特币价格达到100万美元。2037年之后，价格永远不会低于100万美元。
此外，价格走廊可以分为两个带，一个位于价格预测的更低一端，且相当薄；另一个位于更高一端的预测，范围要大很多。比特币价格变化在这两个波段都花费了相同的时间。这意味着，大量的泡沫和破灭有可能继续存在。上述的预测看上去范围很广，但它们跟其他很多人的预测不同，从这个角度，也足够精确。这个价格模型还有助于决策进入和离开市场的时间点。
从长期看，我个人非常有信心。价格会大致按照文章预测的方向演化。事实上，我认为这些预测更有可能只是过低而不是过高：面对大的外源冲击时，我认为比特币有更多的上行空间而不是下行发展。（蓝狐笔记注：外源冲击主要是指从外部输入的影响，而这个影响一般不受内部体系影响。）不过，考虑到大的外源冲击，本文并不试图做任何预测。相反，我们会假设事情继续“像往常一样”。
看待价格的不同方式
比特币价格最有意思和最让人惊讶的地方是它在短短几年内经历了许多个数量级的变化。我能找到的第一个公开上市的价格是0.05美元，是2010年7月17日Mt Gox交易所上的价格，但在此之前，很多比特币以更低的价格换手，比如2010年5月22日，Laszlo Hanyecz为两个比萨饼支付了10,000个btc，当时价格大概相当于每个btc0.0025美元。在写作本文时，比特币价格在10,000美元左右徘徊，这个价格大约是Laszlo Hanyecz购买比萨饼时的400多万倍。
对于金融工具来说，经历如此巨大的数量级变化是不同寻常的，并且实际上，查看按照时间推移的比特币价格变化可能让人困惑，如果价格是以线性比例展示。（蓝狐笔记：作者的意思是说，比特币价格变化图按照线性比例会呈现陡峭的变化，图示让人难以理解。所以，比特币价格变化图还有一种使用对数刻度的呈现。）
下面是比特币从2010年7月17日到最近的价格图。任何列出比特币价格的网站上都可以找到类似的图表。
比特币的历史价格
跟过去的价格相比，任何接近现在的价格都有大幅的变化，似乎过去的价格毫无意义。然而，为了理解长期价格趋势的意义，所有过去的价格都有一定的重要性。产生上述效果的原因是使用线性比例对于经历如此大数量级变化的价格图来说是不方便的。
因此，使用对数标尺比线性标尺更有用。对数标尺给出的是同等的间距，例如从0.01到0.1和从1000到10000是同等的间距。从这个角度，比特币价格演化的更大图景变得更加清晰：
显而易见的是，比特币的价格增长率看上去趋于缓慢。价格从0.1美元到1美元，10倍的涨幅在几个月内完成。而后续的10倍增益就趋于缓慢。
上图中，价格（y轴）按对数比例缩放，而时间则不是（x轴）。让我们来看一下，如果x轴也按照对数比例缩放会发生什么（在所谓的对数—对数图中）：
比特币历史价格，对数—对数图
现在的价格曲线看起来非常线性！
线性回归
既然数据看上去如此线性，让我们尝试使用线性回归。这个想法本身并不新鲜。我在reddit上也发现过尝试这个方法的帖子。
对数—对数图上的线性回归展示出了幂律法则
绿线是线性回归的结果。线性回归给我们提供下列的幂律法则，以预测比特币在特定日期的价格：
价格=10^(a + blog10(d))
其中a = -17.01593313，斜率 b = 5.84509376 ，d为2009年以来的天数。
注意：我们得到幂律，它是非线性的，因为我们在对数空间中进行了线性回归。
从视觉上看，效果很适合。它非常好地回溯到交易所最初上市时的价格。令人感兴趣的是，reddit上的帖子是发表于一年前，结果至今还很相似。此外，确定系数很高：0.93139763，这给予我们另一个迹象表明，我们有个不错的模型拟合。
我们可以观察确定系数是如何随时间推移而演化的。令人惊讶的是，随着时间的推移，模型倾向于更好地拟合数据：
在解释比特币的价格时，幂律正变得越来越好
x轴代表用于线性回归模型的数据点（天）的数量，而y轴代表对拟合程度的衡量。比特币的价格越来越符合幂律法则。
让我们稍微扩展一下。如果我们移动上述的拟合线低一些，但不改变斜率，我们发现支撑线似乎效果很好：除了2010年的一个实例，价格从来没有突破这条线：
幂律提供了很好的支撑线
对比特币价格似乎有一个基本的支撑，这在历史上看，它遵循了幂律法则。
我们也可以尝试仅对2011、2013、以及2017年三个峰值执行线性回归。有趣的是，这种拟合效果也很好：所有三个数据点都非常接近于线：
市场峰值遵循幂律
市场峰值似乎也遵循幂律。如果下一个市场顶部也遵循幂律，市场顶部将位于这条线上。这一幂律的斜率是5.02927337，而所有数据的拟合给予我们稍微更大的斜率5.84509376。
这表明，跟整体趋势线相比，比特币牛市相对容易控制。这可能是预期的。随着市场成熟，订单簿更有深度，人们可以预期波动性会更低。
我们现在有两个幂律：比特币价格变化（较低的支撑线）、以及由三个市场顶部定义的较高线。
现在，让我们来看看哪个数据点最适合模型。我们将使用随机样本共识（RANSAC），它是去除离散值的迭代形式：首先，线性回归在所有数据点上执行。然后，去除那些跟数据最不符合的数据点，并再次执行线性回归。当50%的数据点被移除时，我们停止。该图显示结果：
稳健的回归消除了牛市
此图中突出显示了由RANSAC选择的数据点。似乎有两组数据点：由RANSAC选择的数据点非常接近于模型拟合。在不是由RANSAC选择的数据点组中，这些值几乎都高于模型拟合。实际上，其中有一些比模型拟合更高。这些数据点大多数发生在牛市中。比特币价格似乎遵循两种模式：
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正常模式
在此期间的价格由幂律很好地定义。
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牛市模式
在此期间，价格可能远高于正常模式，并且其间价格波动更大。
价格在这两种模式中的每一种中花费同等的时间。
最后，让我们将所有上述的模型拟合组合成一个图：
几个幂律超强加于价格
我们看到，使用所有数据的拟合与RANSAC的结果有很高相似度的斜率，但偏移略有不同。这是因为牛市价格的大多数都被当成离散值被RANSAC（随机样本共识）排除在外。
模型预测
我们现在有各种模型来预测未来的比特币价格。我们所要做的是扩展此图表：
模型价格预测
该模型预测，价格将在红色支撑线和蓝色顶部线之间移动。紫色的稳健拟合/RANSAC线定义“正常模式”的中心。过去两次减半以及预计未来的减半都由黑色垂直线标记。
我们可以进一步将这个走廊划分为两个带，一个对应“正常”模式，一个对应“牛市”模式。迄今为止，价格已经在较低的“正常模式”带花费了一半时间，而其余时间则在较高的“牛市模式”带中。
解读
这种幂律模型预测比特币价格是持续但缓慢地增长。它还预测未来会出现减少的但仍然很大的波动。它预测价格在2021年前无法达到10万美元，但它也预测价格在2028年后不会低于10万美元。
它预测价格不会在2028年前达到100万美元，但它预测价格在2037年后不会低于100万美元。该模型预测价格会不断上涨，尽管上涨速度越来越慢。
跟其他的预测相比，这些预测似乎在一定程度上走的是中间道路。根据这个模型，McAfee的著名预测过于乐观。
价格走廊很宽泛的事实和增长率趋缓的事实相结合，它意味着不幸运的投资者在安全收回初始投资之前必须等待越来越长的时间。例如，在2011年泡沫峰值购买比特币的投资者只需要等待2年，也就是2013年实现永久解套。
然而，在2013年泡沫峰值购买比特币的投资者，需要等待4年时间，也就是直到2017年，才实现永久解套（从价格中解套，并保持在该最高价格之上）。该模型预测，2017年泡沫峰值购买比特币的用户，需要等待6年时间，也就是2023年底，才能完全解套。
到目前为止，每个为期四年的减半期都有泡沫，每次价格都会被下个周期的泡沫所超越。由于增长趋缓和走廊的宽泛，这不能保证未来也会持续出现相同的情况。例如该模型允许如下场景：
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在2022年初的价格为15万美元，这是下一个和第四个四年周期。
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价格低于15万美元，直到2028年中期，即第六个四年期间。
这种情况会给予比特币的批评者们提供弹药，但只要做好准备，这不会是特别让人担忧的。
为什么比特币遵循幂律法则，我们应该期待它会一直持续吗？关于比特币遵循幂律法则的观察无疑是自组织的。此外，除了时间之外，还有其他因素也会影响比特币的价格，例如稀缺性。
然而，比特币的稀缺性是程序设计的，也是基于时间的。基于时间的简单模型在未来持续发挥作用并非不可信。就对数—对数图中衡量而言，幂律拟合运作越来越好的事实表明这可能确实成立。
结论
本文中，我们提出了简单的基于时间的方程来模拟比特币的价格。值得注意的是，该方程式很简单，使用时间作为唯一变量，但是，在很长时间内效果良好。
这个模型并不试图预测牛市，但这似乎是定期发生的。然而，预计牛市将落在这个模式的走廊范围中。
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原文始发于微信公众号（蓝狐笔记）：比特币价格走廊与幂律法则：走向何方？