1^2 = 1
2^2 = 1+3
3^2 = 1+3+5
4^2 = 1+3+5+7
5^2 = 1+3+5+7+9
6^2 = 1+3+5+7+9+11
7^2 = 1+3+5+7+9+11+13
8^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15
9^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15+17
10^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
и т.д. ... Это красивое свойство квадрата легко объяснимо.
Пусть N — простое число, тогда квадрат следующего целого числа можно представить как (N+1)(N+1) или:
N^2 + (2N+1)
здесь N^2 — это квадрат предыдущего числа, а (2N+1) — следующее по порядку нечетное число.
Действительно, для N=1, кадрат следущего числа (или 2^2) будет равен 1^2 + (2+1) или 1+3
Для N=2, квадрат следующего (или 3^2) равен 2^2 + (4+1). Но, как было показано выше, 2^2 = 1+3, следовательно:
3^2 = 1+3+5
Для N=3, квадрат следующего (или 4^2) равен 3^2 + (6+1). Но, мы уже знаем, что 3^2 = 1+3+5, следовательно:
4^2 = 1+3+5+7
и т.д.