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평균과 표준편차 그리고 기대값에서 기대값, 분산 그리고 각각의 연산법칙에 대해 정리해보았다.

기대값을 구하기 위해 평균 공식을 이용(평균을 구하는 공식에서 1/n을 Σ안으로 넣어 Pi로 변경)하였기 때문에 평균과 기대값이 같은 것이라고 생각할 수 있다. 사실 둘은 같을 수도 있고 다를 수도 있다.

공식의 도출과정에서 알 수 있듯이 평균과 기대값은 동일한 논리하에서 계산된다. 하지만 평균은 주어진(과거값 또는 표본) 수치에 대한 대표값(평균)을 계산하는 것인 반면, 기대값은 예상되는 확률(미래값 또는 모집단의 확률분포)에 근거한 예측치(확률적 평균)라는 점은 다르다.

다만 기대값을 계산하기 위한 미래 예측이 어렵기 때문에 과거가 미래에도 반복된다고 가정하고, 평균을 기대값으로 사용 하는 경우도 많다. 이 글에서도 둘을 엄밀하게 구분하지는 않을 것이다.

이제 "투자"에 있어서 기대값과 분산이 가진 의미를 알아보자.

주식으로 1억을 만드는 방법 - 기대수익률과 위험

"주식으로 1억을 만들기 위해서는 2억을 투자하면 된다"는 우스갯소리가 있다. 개인 투자자들이 수익률 보다는 수익의 절대금액에 현혹되는 경향이 있기 때문에 나온 얘기다.

투자수익이 동일하게 1만원이라도 최초 투자금액이 10만원인 것과 100만원인 경우는 수익률이 다르다. 따라서 투자에서는 절대수익을 나타내는 "기대값"보다는 투자대비 수익의 비율을 나타낸 "기대수익률"을 사용하는 것이 일반적이다.

다음의 예에서 기대수익률을 계산해보자.

기대값은 ΣP_iX_i이므로, 기대수익률은 (0.25x0.2)+(0.5x0.1)+(0.25x0) = 10%로 계산 된다.

이번에는 기대수익률이 동일한 다음의 경우를 보자.

투자안 A와 B 모두 기대수익률은 10%로 동일하다. 둘 중 하나의 투자안을 선택해야 한다면 사람들은 어떤 투자안을 선택할까? 안정적인 투자를 원하는 사람은 A를 선택하겠지만, 공격적인 투자자는 B를 선택할지도 모른다.

투자안 A와 B는 미래 수익률 변동의 폭이 다르므로 투자자의 성향에 따라 투자안에 대한 선택은 달라질 수 있다. 그렇다면 각 투자안의 변동폭은 얼마나 다를까? 변동폭을 평균(혹은 기대값)을 중심으로 떨어진 정도라고 정의한다면 투자안의 표준편차를 계산하여 그 값을 측정할 수 있을 것이다.

위의 예에서 표준편차를 계산해보면 다음과 같다.

A의 분산은 [0.25x(0.2-0.1)²] + [0.5x(0.1-0.1)²] + [0.25x(0-0.1)²] = 0.005이며 표준편차는 7.1%로 계산된다.

투자에서는 표준편차를 "위험"이라고 부른다. 투자안 A와 B의 표준편차를 비교해보면 어느 투자안이 더 위험한지 알 수 있다. 투자론에서는 대부분(?)의 투자자들 위험을 싫어하므로 투자안 A를 선택하는 것으로 가정한다.

포트폴리오의 수익률과 위험

이제 두 자산으로 이루어진 포트폴리오의 기대수익률과 위험을 알아보기 위해 X자산과 Y자산에 각각 a%와 b%로 나누어 투자하는 포트폴리오를 생각해보자.

해당포트폴리오의 기대수익률은 기대값의 연산법칙을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.
E(Portfolio) = E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

동일한 방법으로 분산의 연산법칙을 이용해 포트폴리오 분산을 계산할 수 있다.
Var(Portfolio) = Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) + 2abCov(X,Y)

분산은 간단하게 다음과 같이 표현할 수도 있다.
σ_p² = a²σ_x² + b²σ_y² + 2abσ_xy

실례로 Kospi와 Dow지수가 각각 50%씩 구성된 포트폴리오의 기대수익률과 위험을 계산해보기로 하자. (아래 특성은 과거 약 30년간의 데이터로부터 나온 자료이지만, 이러한 특성이 미래에도 유지된다고 가정한다.)

기대수익률 = (0.5x8.4%) + (0.5x8.9%) = 8.6%
분산(위험) = (0.5²x6.59%) + (0.5²x2.61%) + 2x0.5x0.5x1.34% = 2.97%
표준편차(위험) = (2.97%)^1/2 = 17.2%

Kospi와 Dow가 각각 50%의 비중으로구성된 동일비중 포트폴리오의 계산 값을 보면 기대수익률은 정확히 두 자산의 중간값으로 계산된다. 하지만 분산은 두 자산의 중간값보다 작은 것을 볼 수 있다.

분산의 계산과정에서 확인할 수 있듯이 포트폴리오의 분산은 각자산의 위험비중 25%와 공분산으로 인한 위험비중 50%의 합으로 이루어져 있다. 이는 포트폴리오 구성시 개별자산의 위험보다 공분산이 더 큰 영향이 미치는 것을 의미한다. 또한 공분산이 작은 자산들을 이용하면 전체 포트폴리오의 위험을 낮출 수 있다는 말이기도 하다. 만약 공분산이 (-)인 상태로 충분히 크다면 포트폴리오의 위험은 "0"이 될 수도 있다.

기대수익률과 위험의 관계

투자비중 변동

위의 예에서는 동일 투자비중인 경우의 기대수익률과 분산을 계산하였다. 만약 두 자산에 대한 투자비중이 달라지는 경우 위험과 수익률의 관계는 어떻게 변할까?

x축은 표준편차(위험), y축은 기대수익률을 나타내며, 곡선은 총 투자비중을 1로 유지하는 경우 위험에 따른 수익률을 보여준다. 투자자는 곡선위의 어느점이라도 투자안으로 선택할 수 있다.

(투자론에서 정의하는) 위험 회피적인 투자자는 동일 위험하에서 수익률이 가장 높은 투자안을 선택할 것이므로 곡선이 우상향 하는 부분인 주황색라인 위에 있는 투자안을 선택하게 될 것이다.

차입과 공매도

주황색 투자선을 더 확장할 수 있는 방법은 무엇일까?

곡선 중 우상향 하는 부분을 확장하기 위해서는 위험과 수익이 동시에 증가해야 한다. 이는 차입 또는 공매도를 통해 마련한 자금을 위험자산에 추가 투자함으로써 가능해진다. 이것이 가능한 경우 곡선은 다음과 같이 변한다.

차입 또는 공매도를 통해 투자자는 더 많은 위험을 부담하면서 더 높은 수익을 얻는 선택이 가능하게 되었다.

주목할 점은 투자선의 주황색부분 뿐만아니라 파란색 부분 또한 길어졌다는 것이다. 우리는 투자자가 주황색 투자선을 선택할 것이라고 가정하고 있지만, 실제 투자에서 투자자는 자신이 곡선상의 어느 위치에 있는지 알지 못한다. 잘못된 레버리지의 사용이 손실규모를 키울 수도 있다는 얘기다.

공분산 변동

포트폴리오의 위험에 대해 말할때 공분산이 중요한 역할을 한다고 언급했었다. 공분산의 변동에 따라 위의 그래프가 어떻게 변하는지 확인해보자.

분석하기 전에 먼저 공분산을 표준화 할 필요가 있다. 공분산은 분산과 마찬가지로 크기에 의미가 없으며, 상한과 하한이 정해져 있지 않기 때문에 공분산으로는 test 범위를 정하기가 애매하다.

공분산을 표준화하기 위한 여러 방법이 있지만, 가장 흔하게 사용되는 방법은 피어슨의 상관계수다. 피어슨의 상관계수는 z-score를 이용한 정규화와 매우 유사한 방법으로 계산된다.

상관계수는 z-score와 마찬가지로 -1 ~ +1 사이의 값을 가지게 되므로, 분석을 위한 범위를 쉽게 확정할 수 있다. 상관계수가 정의되면 포트폴리오 분산은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

σ_p² = a²σ_x² + b²σ_y² + 2abρ_xyσ_xσ_y

이제 상관계수가 각각 -1, 0, 1 인 경우의 그래프를 그려보자.

상관계수가 -1일 때(파란색 그래프)는 두 자산이 서로 반대로 움직이므로 투자비율 조정으로 위험을 "0"으로 만들 수 있다. 반면에 상관계수가 1인 경우(회색그래프) 두 자산은 항상 같은 방향으로 움직이므로 위험이 자산비중에 비례하여 위험분산효과가 없어지게 된다.

자산이 세가지인 경우

수식의 확장

지금까지는 두 자산의 경우에 대해 살펴보았으나, 세 자산의 경우에는 어떤지 살펴보기로 하자. 세 자산의 경우를 살펴보면 n자산으로의 확장도 유추가능할 것이다.

세자산의 기대수익률과 분산은 다음과 같다.

E(P) = E(aX + bY + cZ) = aE(X) + bE(Y) + cE(Z)
Var(P) = Var(aX + bY+cZ) = a²Var(X) + b²Var(Y) + c²Var(Z) + 2abCov(X,Y) + 2bcCov(Y,Z) + 2acCov(X,Z)

증명 : Var(X+Y+Z)
= E[((X+Y+Z) - E(X+Y+Z))²]
= E[((X-E(X)) + (Y-E(Y)) + (Z-E(Z)))²] 를 풀면 된다.

간단하게 다음과 같이 표현할 수도 있다.
σ_p² = a²σ_x² + b²σ_y² + c²σ_z² + 2abσ_xy + 2bcσ_yz + 2acσ_xz

또한 행렬을 이용하여 다음과 같이 표현하는 것도 가능하다.
σ_p² =

투자비중과 공분산행렬을 구분하여 다음과 같이 표현해도 동일하다.
σ_p² =

위의 식에서 투자비중을 w로 공분산 행렬을 Ω로 표현하면 다음과 같이 표현할 수도 있다.
σ_p² = wΩw^-1

세 자산의 투자곡선

이제 다음 세자산 경우 투자비중 변화에 따른 기대수익률과 분산을 그래프로 그려보자.

x축은 위험을 y축은 수익률을 나타낸다. 상단, 중단 및 하단에 위치한 점은 각각 SPY, Kospi200 및 GLD에 100%비중으로 투자했을 때의 위험과 수익을 보여준다. 녹색, 주황색 및 검은색 선은 두 자산으로 투자가능한 지점이며, 대상 투자자산은 상단과 하단에 위치한 점에 위치한 자산이다.

파란색점 들은 세가지 자산에 모두 투자하는 경우 투자가능한 지점을 보여준다. 재밌는 점은 두 자산을 투자하는 경우의 가능한 투자가능지점들(녹색, 주황색, 검은색 선)보다 훨씬 더 확장된 지점 까지 투자가 가능하다는 것이다. 이는 두 자산으로 이루어진 투자가능 곡선의 각 점이 새로운 투자자산으로써 역할을 하면서 투자 범위가 확장되기 때문에 가능한 것이다.

위에서도 언급하였지만 합리적(?)인 투자자는 동일 위험내에서는 가장 수익이 높은 곳에 투자하므로 효율적 투자는 파란점들이 우상향하는 외쪽 윗부분의 가장자리에서 이루어질 것이다.

한국 개인 투자자의 비애 - HIgh Risk, Low Return

개인 투자자들이 대부분 자국의 주식에 투자한다는 점을 감안하면, 미국의 개인 투자자들은 SPY에 투자함으로써 합리적(적절한 위험 수준에서)으로 높은 수익을 얻을 수 있었던 반면 KOSPI에 대부분의 자산을 투자한 한국의 개인투자자들은 상대적으로 높은 위험에도 불구하고 낮은 수익을 얻었을 것으로 추정할 수 있다. 즉 미국투자자들은 상대적으로 Low Risk- High Return이라는 결과를 얻은 반면, 한국 투자자들은 High Risk-Low Return이라는 결과를 얻은 것이다.

이전글에서는 이를 "Low-volatility anomaly"로 설명하였으나, 투자곡선을 그려본 결과, 이러한 현상은 투자자들의 비효율적 투자로 부터 비롯된 것이라는 설명도 가능해 보인다.

다시말하면 개별자산이나 시장간의 비교에서는 Low-volatility anomaly가 존재한다고 볼 수 있으나, 투자자산 전체에 대한 포트폴리오를 구성하여 효율적으로 투자한다면 Low-volatility anomaly가 사라지고 High Risk - High Return이라는 결과를 얻을 수 있을 것으로 생각한다.

분석의 한계

물론 이러한 분석은 과거 투자결과를 사후적으로 설명한 것에 불과하다는 한계를 가지고 있다. 실제 투자에서는 미래의 수익률과 위험을 예측할 수 없기 때문에 각 투자자들은 현재 자신이 그래프 상의 어느 위치에서 투자하고 있는지 정확하게 알 수는 없다.

뿐마아니라 지식의 부족, 세금과 수수료 문제 등은 다양한 투자자산에 대한 분석을 통해 포트폴리오를 구성하는 것을 어렵게 만드는 요인으로 작용하기도 한다.

이러한 문제 중 두번째 부분은 충분한 Study를 통한 효율적 투자 혹은 펀드나 ETF를 통해 어느정도 극복가능한 부분이라고 생각된다. 물론 이를 위해서 개인들의 꾸준한 학습은 필수적이다. 문제가 되는 것은 첫번째 부분이다. 사전적으로 구성한 포트폴리오가 사후적으로도 효과적일 수 있을까? 이 부분에 대한 분석은 일단 다음으로 미뤄두기로 한다.

자산의 위험 기여도

지금까지는 포트폴리오의 위험에 대해 알아보았다. 이제 마지막으로 궁금한 것은 포트폴리오 위험에 개별자산이 얼마나 기여하고 있는지다. 포트폴리오의 위험을 100이라고 할때 포트폴리오를 구성하고 있는 자산의 위험기여도는 얼마나 될까?

직관

다시 두자산으로 구성된 포트폴리오로 돌아가보자.
포트폴리오의 위험(분산)은 다음과 같이 측정할 수 있다.

σ_p² = a²σ_x² + b²σ_y² + 2abσ_xy

이를 행렬로 표현해보면 다음과 같다.

위의 행렬은 두 자산에 대한 위험이므로 주황색 점선을 기준으로 이등분해보면 어떨까?
윗부분은 X라는 자산과 그 자산의 비중인 a가 각 항에 모두 포함되어 있고, 아래부분은 Y와 해당 자산 비중 b가 각 항에 모두 포함되어 있다. 따라서 나눠진 부분을 각 자산이 위험에 미치는 영향이라고 할 수 있지 않을까?

아래 부분에도 a와 X가 포함되어 있으므로 위의 설명은 맞는 것 같기도 하고 틀린것 같기도 하다.

수학적 증명

먼저 Kospi와 Dow의 자료를 활용해 비중에 따른 위험 변화를 그래프에서 확인해보자.

Kospi 비중 변화에 따른 위험의 변화는 다음과 같다.

분산은 비중에 대한 이차함수이기 때문에 볼록한 곡선 모양을 나타내는 반면, 표준편차는 이차함수에 대한 제곱근(즉, 일차함수)이므로 직선의 모양으로 나타난다.

수식 : 분산

이제 수식으로 넘어가보자. X의 위험기여도는 X의 자산비중인 a에 의해 결정된다. a가 커질 수록 X의 비중이 증가하면서 X가 포트폴리오 위험에 미치는 영향도 커진다. 즉, a가 100%인 경우, 포트폴리오의 위험은 모두 X로 부터 발생할 것이다.

다시 말하면 a가 변할때 전체포트폴리오 위험의 변화가 바로 X가 포트폴리오의 위험에 미치는 영향이 된다. 이는 수학의 미분개념과 동일하므로 X의 한계위험기여도(MRC : Marginal Risk Contribution)는 다음과 같이 a의 변화당 포트폴리오 위험의 변화로 나타낼 수 있고, 이는 그래프상의 기울기에 해당한다.