들어가며..

지난글에서 스피또500에 대한 얘기를 한 적이 있다. 재미로 쓴 글이지만 문득 로또의 확률과 기대값이 궁금해졌다. 지난글에 매주 로또를 사는 것보다 미래에 살 것으로 예상되는 로또 금액만큼 한번에 로또를 사는 것이 당첨확률을 높일 수 있다고 썼다.

과연 얼마나 당첨확률을 올릴 수 있을까?
한번에 로또를 사는 것이 당첨확률이 높다면 매주 로또를 사는 사람들은 (기다리는 즐거운을 제외하고) 확률에 대한 계산을 무시하고 있는것인가?

물론 이런 궁금증이 드는 것은 중고등학교 시간에 확률과 통계시간에 열심히 졸았기 때문일 것이다.
사실 이런것 말고도 바보같은(?) 몇가지 궁금증이 더 있었다.

흔히 "몬티홀 문제"라고 불리는 것에 대한 확률 문제라던가..
카지노에서 룰렛을 할때, 연속해서 홀수가 나왔을때 다음번에 짝수에 것는 것이 맞출 확률이 더 높지 않을까? 하는 문제 말이다.

주사위 던지기..

로또를 다루기 전에 좀 더 단순해 보이는 문제를 먼저 다뤄보기로 하자. 필자와 같이 수학적 마인드가 약한 사람들은 처음부터 큰 수를 다루면 이해가 잘 안되는 경향이 있다.

잘 만들어진 주사위가 있다고 해보자. 주사위에는 1~6까지의 숫자가 써있으며, 한게임의 가격은 100원이다. 100원을 베팅하는 경우, 플레이어는 1개의 숫자를 지정할 수 있으며, 200원을 베팅하는 경우 플레이어는 2개의 숫자를 지정할 수 있다.
주사위를 던져서 플레이어가 지정하는 숫자가 나오면 300원의 상금을 주며, 나머지 숫자가 나오는 경우 상금은 없다.
플레이어에게는 300원이 있으며, 이를 한꺼번에 베팅할 수도 있고 3게임에 나누어 베팅할 수도 있다.
플레이어 A는 300원 모두를 한게임에 베팅하기로 결정하였으며(당첨확률을 높이기 위해 3개의 다른 숫자를 선택), 플레이어B는 100원씩 3게임을 하기로 결정하였다.

플레이어 A와 B 각각의 당첨확률과 기대값은 얼마일까?

먼저 플레이어 A의 경우를 살펴보자. A는 각기다른 3개의 숫자를 지정하였으므로 당첨확률은 50%(3/6)이며, 이때 기대값은 150원(300원X50%)이다.

B의 경우 계산이 약간(?) 복잡하다. 먼저 경우 수(case)를 나열해보고 case별 확률을 계산하였다(W는 Win, L은 lose를 의미). 총 8가지 경우의 수가 있으며 각각의 확률은 W의 경우 1/6, L의 경우 5/6을 곱하여 산출하였다.

한번이라도 당첨될 확률은 42.1%로 W이 1개라도 있는 경우의 확률을 합산하였으며, 한번도 당첨되지 않을 확률(LLL)은 57.9%이다. 당첨확률의 합계는 100%가 되어야 하므로 한번이라도 당첨될 확률은 "100% - 한번도 당첨되지 않을 확률(57.9%)"과 같다.

따라서 확률만을 놓고 보면, 플레이어 A와 같이 한번에 모두를 베팅하는 것이 매게임 나누어 베팅하는 것보다 약 7.9%p 당첨확률이 높다.

그렇다면 플레이어 B의 기대값은 얼마일까? 기대값은 "사건의 확률 X 사건으로 얻는 이득"으로 정의 되므로 위의 표의 case별 확률에 case별 이득을 곱해주면 된다. 즉, 기대값은 150원으로 플레이어A와 플레이어B의 기대값은 동일하다.

계산해 놓고 보니 플레이어 B의 입장에서 뭔가 억울한 느낌이다. 당첨확률도 플레이어 A보다 낮은데, 기대값도 플레이어 A와 동일하다니 지금까지 플레이어B는 잘못 베팅한 것이 아닐까?

다시 플레이어의 A의 확률과 기대값을 정리해보자.

동일한 방식으로 플레이어B의 확률과 기대값을 정리해보자.

위의 표에서 노란색부분은 case별 확률하에서 기대값이 150이 되기 위한 당첨시 이득이다. 이를 계산해보면 약 356원이 된다.

즉 플레이어B는 플레이어A에 비해 당첨확률은 낮지만 여러번 베팅을 수행함으로써 당첨금을 여러번 받을 가능성이 생기고 이로 인해 당첨시 받을 이득은 플레이어 A보다 커진다고 말할 수 있겠다. 이로써 플레이어B의 억울함이 약간이나마 해소되지 않았을까?

이제 로또로..

이제 우리는 로또를 매주 사는 것보다 미래에 구매할 로또 비용을 땡겨서 한꺼번에 구매해야 당첨 확률이 높아짐을 알았다. 그렇다면 과연 당첨확률은 얼마나 높아지는 것일까?
위의 주사위게임과 마찬가지 방법으로 계산해보기 위해 로또를 조금 단순화해 다음 상황을 생각해보기로 한다.

로또는 1등만 존재한다.
플레이어B는 21세에서 60세까지 40년간 매주 5,000원씩 로또를 구매하여 총 2,080회차(10,400,000원 = 2,080회 X 5,000원)의 로또를 구매한다. 중간에 로또에 당첨되더라도 로또의 구매는 중단되지 않는다.
플레이어A는 21세에 평생살 로또 금액 10,400,000원을 한꺼번에 투자하여 10,400장의 로또를 구매한다.
화폐의 시간가치와 매주 로또를 사면서 느끼는 즐거움은 무시한다.

플레이어A의 당첨확률은 10,400/8,145,060 이다.
플레이어B의 1회당 당첨확률은 5/8,145,060이며, 전체기간 당첨확률은 "100% - 2,080차 연속미당첨확률" 로 계산된다.