산술평균과 기하평균

산술평균은 길이(1차원)의 평균이며, 기하평균은 면적 및 부피(2차원이상)의 평균이다. 다른 말로하면 산술평균은 덧셈의 평균이며, 기하평균은 곱셈의 평균이다.
그림으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

한편, 산술평균과 기하평균은 다음과 같은 관계를 가진다.

그림으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

<산술평균은 파란색 삼각형의 높이, 기하평균은 주황색 삼각형의 높이>

밑변이 a+b인 직각삼각형(주황색)의 높이( "소"의 공식을 이용하여 산출할 수 있음. (이 부분을 몰라서 찾아봤는데 중학수학이었다는;;)

위의 그림에서 산술평균은 기하평균보다 항상 크며, a와 b가 같을때 산술평균과 기하평균이 같아진다는 것을 알 수 있다.

주지하다시피 누적수익률은 각기간의 수익률의 곱으로 계산되기 때문에 수익률의 평균은 기하평균을 사용하여 계산하는 것이 정확하다.

로그수익률

연속복리수익

먼저 연속복리 수익률에 대해서 알아보자. 연속복리 수익이란 (자연상수) e^r로 계산되는 수익률을 말한다.

자연상수 e는 다음과 같이 정의 된다.

또는

한편 수익률은 기간 수익률은 (1+r)로 표시가능하며, 해당 기간 동안 이자를 n번으로 나누어 받으면 수익률은 (1+r/n)ⁿ 가 된다. 이자를 무한대로 쪼개서 받으면 연속복리 수익인 e^r를 도출 할 수 있다.

연속복리수익

여기서 k = r/n으로 정의하면, n = r/k가 되어 다음과 같이 쓸 수 있다.

연속복리수익의 의미는 무엇일까? 복리수익은 이자에 다시 이자가 붙는 방식이므로 똑같은 이자율을 적용하더라도 이자계산을 자주 할 수록 실제 수익이 높아진다. 하지만 무작정 높아 지는 것은 아니며 최대 e^r까지만 높아질 수 있다.

예를 들어 연간 표시이자율이 5%일 때와 50%일 때를 살펴보자. 이자지급횟수가 늘어날때 마다 수익률이 증가하는 것을 볼 수 있으며, 수익률이 클 때 더 큰 폭으로 증가한다. 역으로 말하면 실제 수익률과 연속복리수익률의 차이(오차)는 수익률이 클 수록 커진다.

연속복리수익을 다기간으로 확장하기 위해서는 r대신 rt를 사용(즉, e^rt)하면 된다. 연속복리수익률을 가정하여 투자후 2배가 되는데 걸리는 시간을 계산해보자.

t기간의 연속복리 수익은 e^rt 이므로 수익률이 2배가 되는 시점은 다음과 같이 계산할 수 있다.

e^rt = 2
양변에 로그를 취하면,
rt = ln2 = 약 69.3%
t = 69.3%/r

72의 법칙

즉, 69.3%를 수익률 r로 나누면, 2배가 되는 기간을 구할 수 있다. 편의상 69.3%를 72%로 대체하여 쓰기도 하는데 이를 경제학에서는 "72의 법칙"이라고 한다. 72는 2,3,6,9 등 다양한 숫자로 나누어떨어지므로 계산의 편의상 72를 사용한 것으로 보인다.

여기서 주의할 점은 t를 계산할때 연속복리 수익을 가정하였다는 것이다. 따라서 실제 수익률을 적용한 t 기간과는 약간의 차이가 발생할 수 있으며, 그 차이는 수익률 r이 커짐에 따라 커지게 된다.