19-02-2025 - Analytic Geometry - Quadratic Forms [EN]-[IT]
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ENGLISH
19-02-2025 - Analytic Geometry - Quadratic Forms [EN]-[IT]
With this post I would like to give a brief instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_62)
Quadratic Forms
Quadratic forms are mathematical expressions that involve terms with power 2, that is, terms squared. Quadratic forms are often represented in matrix form.
Below I show how a quadratic form can be written in two variables x and y
WHERE:
-a, b, c = real coefficients
The expression just written can be reproduced in matrix form, below is how it would become.
The matrix associated with the quadratic form would be the following
Definition of Quadratic Forms
Quadratic forms can be defined into 5 groups. Here is a list of how quadratic forms can be divided:
positive: All eigenvalues of the associated matrix are positive.
negative: All eigenvalues of the associated matrix are negative.
Positive Semidefinite: All eigenvalues are non-negative (but not all positive).
Negative semidefinite: All eigenvalues are non-positive (but not all negative).
Indefinite: Eigenvalues include both positive and negative values.
Exercise
I will not perform all the steps, but I will only give some main indications. To fully understand the exercise, a minimum of basic knowledge of analytical geometry or linear algebra would be needed.
let's start....
Given the quadratic form Q whose associated matrix is
-4 2
2 -1
to which group does this quadratic matrix belong?
Let's write the matrix that the exercise proposes, here it is below.
Now we need to proceed with calculating the eigenvalues of the matrix.
It is precisely these that determine the nature of the quadratic form. Below are the individual rules:
-If all eigenvalues are positive, Q is positive definite
-If all eigenvalues are negative, Q is negative definite
-If there are both positive and negative eigenvalues, Q is indefinite
-If all eigenvalues are non-negative (but not all positive), Q is positive semi-definite.
-If all eigenvalues are non-positive (but not all negative), Q is negative semi-definite
In the calculation of eigenvalues, after having defined the matrix, we must find the characteristic polynomial.
We can find the characteristic polynomial by solving the determinant of the matrix A - λI
where:
- λ is a scalar
- I is the identity matrix.
After having calculated the determinant we should solve the equation in the form of a polynomial.
At this point we will obtain the eigenvalues of the matrix A
In the case of the matrix shown we have eigenvalues of Q that indicate that Q is negative semi-definite, but not negative definite.
Conclusions
Quadratic forms are used in analytical geometry, linear algebra and mathematical analysis.
Question
In your opinion, is the topic described here (it has certainly not been explained in depth), that is, quadratic forms, an easy or difficult topic? Do you remember studying it at school, or was it not a necessary subject for the school path you took?
[ITALIAN]
19-02-2025 - Geometria analitica - Forme quadratiche [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_62)
Forme quadratiche
Le forme quadratiche sono delle espressioni matematiche che coinvolgono dei termini con potenza 2, cioè dei termini al quadrato. Le forme quadratiche vengono spesso rappresentate in forma matriciale.
Qui di seguito mostro come può essere scritta una forma quadratica in due variabili x e y
DOVE:
-a, b, c = coefficienti reali
L'espressione appena scritta può essere riprodotta in forma matriciale, qui di seguito ecco come diventerebbe.
La matrice associata alla forma quadratica sarebbe la seguente
Definizione delle forme quadratiche
Le forme quadratiche possono essere definite in 5 gruppi. Qui di seguito l'elenco di come possono essere divise le forme quadratiche:
positiva: Tutti gli autovalori della matrice associata sono positivi.
negativa: Tutti gli autovalori della matrice associata sono negativi.
Semidefinita positiva: Tutti gli autovalori sono non negativi (ma non tutti positivi).
Semidefinita negativa: Tutti gli autovalori sono non positivi (ma non tutti negativi).
Indefinita: Gli autovalori includono sia valori positivi che negativi.
Esercizio
Non eseguirò tutti i passaggi, ma darò solo delle indicazioni principali. Per comprendere l'esercizio in maniera completa servirebbero un minimo di basi di geometria analitica o algebra lineare.
partiamo....
Data la forma quadratica Q la cui matrice associata è
-4 2
2 -1
a che gruppo appartiene questa matrice quadratica?
Andiamo a scrivere la matrice che ci propone l'esercizio, eccola qui di seguito.
Ora bisogna procedere con calcolare gli autovalori della matrice.
Sono proprio questi che determinano la natura della forma quadratica. Qui di seguito sono riportate le singole regole:
-Se tutti gli autovalori sono positivi, Q è definita positiva
-Se tutti gli autovalori sono negativi, Q è definita negativa
-Se ci sono autovalori sia positivi che negativi , Q è indefinita
-Se tutti gli autovalori sono non negativi (ma non tutti positivi), Q è semidefinita positiva.
-Se tutti gli autovalori sono non positivi (ma non tutti negativi), Q è semidefinita negativa
Nel calcolo degli autovalori, dopo aver definito la matrice, bisogna trovare il polinomio caratteristico.
Il polinomio caratteristico lo possiamo trovare risolvendo il determinante della matrice A - λI
dove:
- λ è uno scalare
- I è la matrice identità.
Dopo aver calcolato il determinante dovremmo risolvere l'equazione sotto forma di polinomio.
A questo punto andremo ad ottenere gli autovalori della matrice A
Nel caso della matrice riportata abbiamo degli autovalori di Q che ci indicano che Q è semidefinita negativa, ma non definita negativa.
Conclusioni
Le forme quadratiche sono utilizzate nella geometria analitica, nell'algebra lineare e nell'analisi matematica.
Domanda
Secondo voi, l'argomento qui raccontato (non è certamente stato spiegato a fondo), cioè quello delle forme quadratiche, è un argomento facile o difficile? Ricordate di averlo studiato a scuola, oppure non era una materia necessaria per l'indirizzo scolastico che avete intrapreso?
THE END