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ENGLISH
01-02-2025 - Analytic geometry - ordered sets and bases [EN]-[IT]
With this post I would like to give a short instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_91)
Ordered sets and bases
Below I try to express the basic concept for vector spaces.
The bases for vector spaces are sets of vectors, which through linear combinations, can generate all the vectors of the vector space considered.
The vector space is a mathematical structure formed by a set of vectors, which can be added together and multiplied by real or complex numbers, respecting some specific properties. Remember that when we handle vectors, real or complex numbers are also called scalars.
We can also say the following.
In essence, a vector space V over a field F is a set of vectors with two defined operations:
1-The addition of vectors
2-The multiplication by a scalar
These two operations must satisfy the following properties:
-Closure with respect to addition
-Closure with respect to multiplication by a scalar
-Associative property of addition
-Commutative property of addition
-Neutral element of addition
-Inverse element of addition
-Distributive property of multiplication by a scalar with respect to the addition of vectors
-Distributive property of multiplication by a scalar with respect to the addition of scalars
-Associative property of multiplication by a scalar
-Neutral element of multiplication by a scalar
Ordered set
An ordered set of vectors is a collection of vectors in which the order of the vectors is important. In other words, the sequence in which the vectors are displayed in the set is relevant and cannot be changed without altering the properties of the set.
If we consider for example the ordered set R3 as
{v1, v2, v3}
If we change the order of the vectors, we get a different set:
{v2, v1, v3}
Example 01
let's take the following ordered set of vectors and try to understand if they are a basis of R3
{ t(1 1 0), t(-1 0 2), t(1 1 1) }
Is the following ordered set a basis of R3?
YES, the set of vectors is a basis of R3.
This set of vectors is a basis of R3 because the vectors are linearly independent and the space generated by these vectors has rank 3.
To determine which set of vectors is a basis of R3, we must verify that the vectors of each set are linearly independent and if they generate the entire space R3.
Linear independence
A set of vectors is linearly independent if none of the vectors can be written as a linear combination of the others and the three given vectors are linearly independent.
Rank of the matrix
We can construct a matrix with the vectors. If the rank of the matrix is 3, it means that the vectors are linearly independent and generate the entire space R3.
.
Conclusions
In contexts such as analytic geometry and linear algebra, the order of the vectors is crucial, especially when working with bases of vector spaces, determinants and linear transformations. For this reason, when we talk about vector sets, we call them ordered sets.
Question
Do you remember studying ordered sets in school?
[ITALIAN]
01-02-2025 - Geometria analitica - insiemi ordinati e basi [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_91)
Insiemi ordinati e basi
Qui di seguito provo ad esprimere il concetto di base per gli spazi vettoriali.
Le basi per gli spazi vettoriali sono insiemi di vettori, che attraverso combinazioni lineari, possono generare tutti i vettori dello spazio vettoriale considerato.
Lo spazio vettoriale è una struttura matematica formata da un insieme di vettori, che possono essere sommati tra loro e moltiplicati per numeri reali o complessi, rispettando alcune proprietà specifiche. Ricordiamo che quando maneggiamo vettori, i numeri reali o complessi, vengono chiamati anche scalari.
Possiamo anche dire quanto segue.
In sostanza uno spazio vettoriale V su un campo F è un insieme di vettori con due operazioni definite:
1-L’addizione di vettori
2-La moltiplicazione per uno scalare
Queste due operazioni devono soddisfare le seguenti proprietà:
-Chiusura rispetto all'addizione
-Chiusura rispetto alla moltiplicazione per uno scalare
-Proprietà associativa dell'addizione
-Proprietà commutativa dell'addizione
-Elemento neutro dell'addizione
-Elemento inverso dell'addizione
-Proprietà distributiva della moltiplicazione per uno scalare rispetto all'addizione dei vettori
-Proprietà distributiva della moltiplicazione per uno scalare rispetto all'addizione degli scalari
-Proprietà associativa della moltiplicazione per uno scalare
-Elemento neutro della moltiplicazione per uno scalare
Insieme ordinato
Un insieme ordinato di vettori è una collezione di vettori in cui l’ordine dei vettori è importante. In altre parole, la sequenza in cui i vettori vengono mostrati nell’insieme è rilevante e non può essere cambiata senza alterare le proprietà dell’insieme.
Se consideriamo per esempio l’insieme ordinato R3 come
{v1, v2, v3}
Se cambiamo l'ordine dei vettori, otteniamo un insieme diverso:
{v2, v1, v3}
Esempio 01
prendiamo il seguente insieme ordinato di vettori e cerchiamo di capire se sono una base di R3
{ t(1 1 0), t(-1 0 2), t(1 1 1) }
Il seguente insiemi ordinato è una base di R3?
SÌ, l’insieme di vettori è una base di R3.
Questo insieme di vettori è una base di R3 perché i vettori sono linearmente indipendenti e lo spazio generato da questi vettori ha rango 3.
Per determinare quale insieme di vettori è una base di R3, bisogna verificare che i vettori di ciascun insieme siano linearmente indipendenti e se generano tutto lo spazio R3.
Indipendenza lineare
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se nessuno dei vettori può essere scritto come combinazione lineare degli altri e i tre vettori dati sono linearmente indipendenti.
Rango della matrice
Possiamo costruire una matrice con i vettori. Se il rango della matrice è 3, significa che i vettori sono linearmente indipendenti e generano tutto lo spazio R3.
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Conclusioni
In contesti come la geometria analitica e l'algebra lineare, l'ordine dei vettori è cruciale, specialmente quando si lavora con basi di spazi vettoriali, determinanti e trasformazioni lineari. Per questo motivo quando parliamo di insiemi vettoriali, li chiamiamo insiemi ordinati.
Domanda
Ricordate di aver studiato a scuola gli insiemi ordinati?
THE END
