Forma polar de un número complejo
Forma polar de z
Sea z un número complejo cualquiera representado en el plano complejo tal y como se muestra en la figura 1.
Entonces podemos escribir z de la siguiente manera
Este ángulo lo llamamos arumento de z y se denota como
.
Para un numero , el valor principal del
es expresado como
y es definido como el único valor de
tal que
. Entonces tenemos
Obsérvese que cualquiera de los valores pueden ser usados para el cálculo los números entonces podemos decir que
Representemos el número en forma polar.
La gráfica correspondiente a este número es la siguiente
Propiedades del argumento de z. Teorema de De Moivre
Prueba de (6)
sea y
entonces
Prueba de (7)
Hagamos primero lo siguiente
Entonces
Geométricamente podemos observar el
Una generalización de la expresión (6) conduce a
y si , la expresión (8) queda de la siguiente manera
Esta expresión (9), es llamada frecuentemente teorema de De Moivre
Con esto terminamos la parte de la forma polar de un número complejo, en el próximo post veremos las raíces complejas y unos videos en el que se solucionan problemas de los temas anteriormente vistos.
Bibliografía
- Churchill R., Brown J., Verhey R. Complex variables and applications. 3th. Ed. McGraw-Hill, New York, 1976.
- Spiegel M. Variable compleja. McGraw-Hill (Serie Schaum), México, 1971.
- Saff E., Snider A. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 3th. Ed. 2003.
- Volkovyski L., Lunts G., Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. MIR, Moscú, 1984.
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